2022 개정 교육과정 · 동아출판 교과서 기반

수학 공식집

중학교 학년·단원별 / 고등학교 과목별

462개 항목

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중학교 › 1학년

1소인수분해

중학교 수학 1 · 동아출판 · 4개

1.2소인수분해

소인수분해

16쪽

1보다 큰 자연수를 그 수의 소인수들만의 곱으로 나타내는 것을 소인수분해 한다고 한다.

$12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^{2} \times 3$
1보다 큰 자연수를 소인수분해 한 결과는 곱하는 순서를 생각하지 않으면 오직 한 가지뿐이다.

참고소인수분해 한 결과는 보통 크기가 작은 소인수부터 차례대로 쓰고, 같은 소인수의 곱은 거듭제곱으로 나타낸다.

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소인수분해를 이용하여 약수 구하기

17쪽

$18 = 2 \times 3^{2}$ 일 때

18의 약수는 2의 약수 1, 2와 $3^{2}$ 의 약수 1, 3, $3^{2}$ 중에서 각각 하나씩 골라서 서로 곱한 것이다. → 1, 2, 3, 6, 9, 18

참고일반적으로 $a^{m} \times b^{n}$ ( $a$ , $b$ 는 서로 다른 소수)의 약수는 $a^{m}$ 의 약수와 $b^{n}$ 의 약수를 하나씩 골라 곱한 것이므로, 약수의 개수는 $(m + 1) \times (n + 1)$ 이다.

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1.3최대공약수

소인수분해를 이용하여 최대공약수 구하기

19쪽

$24 = 2^{3} \times 3$ , $84 = 2^{2} \times 3 \times 7$ → 최대공약수: $2^{2} \times 3 = 12$

두 수를 각각 소인수분해 한다.
공통인 소인수의 거듭제곱에서 지수가 같으면 그대로, 다르면 작은 것을 택한다.
2에서 구한 거듭제곱을 모두 곱한 값이 두 수의 최대공약수이다.

참고세 수 이상의 최대공약수도 같은 방법으로 구한다.

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1.4최소공배수

소인수분해를 이용하여 최소공배수 구하기

19쪽

$24 = 2^{3} \times 3$ , $84 = 2^{2} \times 3 \times 7$ → 최소공배수: $2^{3} \times 3 \times 7 = 168$

두 수를 각각 소인수분해 한다.
공통인 소인수의 거듭제곱에서 지수가 같으면 그대로, 다르면 큰 것을 택하고, 공통이 아닌 소인수의 거듭제곱은 모두 택한다.
2에서 구한 거듭제곱을 모두 곱한 값이 두 수의 최소공배수이다.

참고세 수 이상의 최소공배수도 같은 방법으로 구한다.

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중학교 › 1학년

2정수와 유리수

중학교 수학 1 · 동아출판 · 8개

2.2정수와 유리수의 대소 관계

정수와 유리수의 대소 관계

43쪽

음수는 0보다 작고, 양수는 0보다 크다.
양수는 음수보다 크다.
양수끼리는 절댓값이 큰 수가 크다.
음수끼리는 절댓값이 큰 수가 작다.

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2.3정수와 유리수의 덧셈

정수와 유리수의 덧셈

47쪽

부호가 같은 두 수의 덧셈은 두 수의 절댓값의 합에 공통인 부호를 붙인다.
부호가 다른 두 수의 덧셈은 두 수의 절댓값의 차에 절댓값이 큰 수의 부호를 붙인다.

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덧셈의 계산 법칙

48쪽

세 수 $a$ , $b$ , $c$ 에 대하여

덧셈의 교환법칙: $a + b = b + a$
덧셈의 결합법칙: $(a + b) + c = a + (b + c)$

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2.4정수와 유리수의 뺄셈

정수와 유리수의 뺄셈

52쪽

두 수의 뺄셈은 빼는 수의 부호를 바꾸어 더한다.

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2.5정수와 유리수의 곱셈

정수와 유리수의 곱셈

56쪽

부호가 같은 두 수의 곱셈은 두 수의 절댓값의 곱에 양의 부호 $+$ 를 붙인다.
부호가 다른 두 수의 곱셈은 두 수의 절댓값의 곱에 음의 부호 $-$ 를 붙인다.

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곱셈의 계산 법칙

57쪽

세 수 $a$ , $b$ , $c$ 에 대하여

곱셈의 교환법칙: $a \times b = b \times a$
곱셈의 결합법칙: $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$

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분배법칙

59쪽

세 수 $a$ , $b$ , $c$ 에 대하여

$a \times (b + c) = a \times b + a \times c$
$(a + b) \times c = a \times c + b \times c$

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2.6정수와 유리수의 나눗셈

정수와 유리수의 나눗셈

61쪽

두 수의 나눗셈은 나누는 수의 역수를 곱한다.

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중학교 › 1학년

3문자의 사용과 식

중학교 수학 1 · 동아출판 · 3개

3.1문자의 사용

곱셈 기호 ×의 생략

75쪽

수와 문자의 곱에서는 곱셈 기호 $\times$ 를 생략하고, 수를 문자 앞에 쓴다. 예: $3 \times a = 3 a$ , $x \times (- 2) = - 2 x$
문자와 문자의 곱에서는 곱셈 기호 $\times$ 를 생략하고, 보통 알파벳 순서로 쓴다. 예: $b \times a = ab$
같은 문자의 곱은 거듭제곱으로 나타낸다. 예: $x \times y \times x \times y \times y = x^{2} y^{3}$
괄호가 있는 식과 수의 곱에서는 곱셈 기호 $\times$ 를 생략하고, 곱해지는 수를 괄호 앞에 쓴다. 예: $(a + 1) \times 2 = 2 (a + 1)$

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나눗셈 기호 ÷의 생략

75쪽

나눗셈 기호 $\div$ 를 쓰지 않고, 분수 꼴로 나타낸다. $a \div b = \frac{a}{b}$ (단, $b \neq = 0$ )

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3.5일차방정식과 그 해

등식의 성질

90쪽

등식의 양변에 같은 수를 더하여도 등식은 성립한다. $a = b$ 이면 $a + c = b + c$
등식의 양변에서 같은 수를 빼어도 등식은 성립한다. $a = b$ 이면 $a - c = b - c$
등식의 양변에 같은 수를 곱하여도 등식은 성립한다. $a = b$ 이면 $a c = b c$
등식의 양변을 0이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다. $a = b$ 이면 $\frac{a}{c} = \frac{b}{c}$ (단, $c \neq = 0$ )

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중학교 › 1학년

4좌표평면과 그래프

중학교 수학 1 · 동아출판 · 2개

4.3정비례와 그 그래프

$y = a x (a \neq = 0)$ 의 그래프

123쪽

$x$ 의 값이 수 전체일 때, $y = a x (a \neq = 0)$ 의 그래프는 원점을 지나는 직선이다.

$a > 0$ 일 때: 제1사분면과 제3사분면을 지난다.
$a < 0$ 일 때: 제2사분면과 제4사분면을 지난다.

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4.4반비례와 그 그래프

$y = \frac{a}{x} (a \neq = 0)$ 의 그래프

129쪽

$x$ 의 값이 0을 제외한 수 전체일 때, $y = \frac{a}{x} (a \neq = 0)$ 의 그래프는 한 쌍의 매끄러운 곡선이다.

$a > 0$ 일 때: 제1사분면과 제3사분면을 지난다.
$a < 0$ 일 때: 제2사분면과 제4사분면을 지난다.

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중학교 › 1학년

5기본 도형과 작도

중학교 수학 1 · 동아출판 · 9개

5.2각의 뜻과 성질

맞꼭지각의 성질

147쪽

맞꼭지각의 크기는 서로 같다.

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5.3위치 관계

점과 직선의 위치 관계

150쪽

점이 직선 위에 있다.
점이 직선 위에 있지 않다.

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한 평면에서 두 직선의 위치 관계

151쪽

한 점에서 만난다.
일치한다.
평행하다.

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공간에서 두 직선의 위치 관계

152쪽

한 점에서 만난다.
일치한다.
평행하다.
꼬인 위치에 있다.

참고1~3은 한 평면 위에 있고, 4는 한 평면 위에 있지 않다.

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공간에서 직선과 평면의 위치 관계

152쪽

한 점에서 만난다.
직선이 평면에 포함된다.
평행하다.

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5.4평행선의 성질

평행선과 동위각

156쪽

서로 다른 두 직선이 한 직선과 만날 때

두 직선이 서로 평행하면 동위각의 크기는 같다.
동위각의 크기가 같으면 그 두 직선은 서로 평행하다.

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평행선과 엇각

157쪽

서로 다른 두 직선이 한 직선과 만날 때

두 직선이 서로 평행하면 엇각의 크기는 같다.
엇각의 크기가 같으면 두 직선은 서로 평행하다.

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5.5삼각형의 작도

삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계

161쪽

삼각형에서 가장 긴 변의 길이는 나머지 두 변의 길이의 합보다 작다.

5.6삼각형의 합동

삼각형의 합동 조건

167쪽

두 삼각형은 다음의 각 경우에 서로 합동이다.

대응하는 세 변의 길이가 각각 같을 때 (SSS 합동)
대응하는 두 변의 길이가 각각 같고, 그 끼인각의 크기가 같을 때 (SAS 합동)
대응하는 한 변의 길이가 같고, 그 양 끝 각의 크기가 각각 같을 때 (ASA 합동)

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중학교 › 1학년

6평면도형의 성질

중학교 수학 1 · 동아출판 · 9개

6.1다각형의 대각선의 개수

다각형의 대각선의 개수

181쪽

$n$ 각형의 대각선의 개수는 $\frac{n ( n - 3 )}{2}$ 이다.

참고 $n$ 각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 $n - 3$ 이다.

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6.2삼각형의 내각과 외각

삼각형의 내각의 크기의 합

183쪽

삼각형의 세 내각의 크기의 합은 $18 0^{\circ}$ 이다.

삼각형의 내각과 외각 사이의 관계

184쪽

삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같다.

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6.3다각형의 내각의 크기의 합

다각형의 내각의 크기의 합

187쪽

$n$ 각형의 내각의 크기의 합은 $18 0^{\circ} \times (n - 2)$ 이다.
$(정 n 각형의 한 내각의 크기) = \frac{18 0 ^{\circ} \times ( n - 2 )}{n}$

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6.4다각형의 외각의 크기의 합

다각형의 외각의 크기의 합

190쪽

다각형의 외각의 크기의 합은 $36 0^{\circ}$ 이다.
$(정 n 각형의 한 외각의 크기) = \frac{36 0 ^{\circ}}{n}$

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6.5원과 부채꼴

부채꼴의 중심각과 호의 관계

194쪽

한 원에서 중심각의 크기가 같은 두 부채꼴의 호의 길이와 넓이는 각각 같다.
한 원에서 부채꼴의 호의 길이와 넓이는 각각 중심각의 크기에 정비례한다.

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6.6부채꼴의 호의 길이와 넓이

원의 둘레의 길이와 넓이

197쪽

반지름의 길이가 $r$ 인 원의 둘레의 길이를 $l$ , 넓이를 $S$ 라고 하면

$l = 2 π r$ , $S = π r^{2}$

부채꼴의 호의 길이와 넓이

198쪽

반지름의 길이가 $r$ 이고 중심각의 크기가 $x^{\circ}$ 인 부채꼴의 호의 길이를 $l$ , 넓이를 $S$ 라고 하면

$l = 2 π r \times \frac{x}{360}$
$S = π r^{2} \times \frac{x}{360}$

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부채꼴의 호의 길이와 넓이 사이의 관계

199쪽

반지름의 길이가 $r$ , 호의 길이가 $l$ 인 부채꼴의 넓이 $S$ 는

$S = \frac{1}{2} r l$

중학교 › 1학년

7입체도형의 성질

중학교 수학 1 · 동아출판 · 7개

7.2회전체

회전체의 성질

216쪽

회전체를 회전축에 수직인 평면으로 자른 단면의 모양은 원이다.
회전체를 회전축을 포함하는 평면으로 자른 단면은 모두 합동이고, 각 단면은 회전축을 대칭축으로 하는 선대칭도형이다.

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7.3기둥과 뿔의 겉넓이

기둥의 겉넓이

220쪽

$(기둥의 겉넓이) = (밑넓이) \times 2 + (옆넓이)$

뿔의 겉넓이

221쪽

$(뿔의 겉넓이) = (밑넓이) + (옆넓이)$

7.4기둥과 뿔의 부피

기둥의 부피

224쪽

$(기둥의 부피) = (밑넓이) \times (높이)$

뿔의 부피

226쪽

$(뿔의 부피) = \frac{1}{3} \times (밑넓이) \times (높이)$

참고뿔의 부피는 밑면이 합동이고 높이가 같은 기둥의 부피의 $\frac{1}{3}$ 이다.

7.5구의 겉넓이와 부피

구의 겉넓이

229쪽

반지름의 길이가 $r$ 인 구의 겉넓이는

$(구의 겉넓이) = 4 π r^{2}$

구의 부피

230쪽

반지름의 길이가 $r$ 인 구의 부피는

$(구의 부피) = \frac{4}{3} π r^{3}$

참고구의 부피는 구가 꼭 맞게 들어가는 원기둥의 부피의 $\frac{2}{3}$ 이다.

중학교 › 1학년

8자료의 정리와 해석

중학교 수학 1 · 동아출판 · 1개

8.5상대도수

상대도수

258쪽

$(어떤 계급의 상대도수) = \frac{( 그 계급의 도수 )}{( 도수의 총합 )}$

참고상대도수의 총합은 항상 1이다.

중학교 › 2학년

1유리수와 순환소수

중학교 수학 2 · 동아출판 · 3개

1.2유한소수와 순환소수

유한소수로 나타낼 수 있는 분수

16쪽

정수가 아닌 유리수를 기약분수로 나타냈을 때, 분모의 소인수가 2 또는 5뿐이면 그 분수는 유한소수로 나타낼 수 있다.

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순환소수로 나타낼 수 있는 분수

17쪽

정수가 아닌 유리수를 기약분수로 나타냈을 때, 분모에 2 또는 5 이외의 소인수가 있으면 그 분수는 순환소수로 나타낼 수 있다.

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1.3순환소수의 분수 표현

유리수와 순환소수의 관계

21쪽

정수가 아닌 유리수는 유한소수 또는 순환소수로 나타낼 수 있다.
유한소수와 순환소수는 모두 유리수이다.

참고순환소수가 아닌 무한소수는 유리수가 아니다.

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중학교 › 2학년

2식의 계산

중학교 수학 2 · 동아출판 · 4개

2.1지수법칙 ⑴, ⑵

지수법칙 ⑴ - 거듭제곱의 곱셈

33쪽

$m$ , $n$ 이 자연수일 때

$a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$

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지수법칙 ⑵ - 거듭제곱의 거듭제곱

34쪽

$m$ , $n$ 이 자연수일 때

$(a^{m})^{n} = a^{mn}$

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2.2지수법칙 ⑶, ⑷

지수법칙 ⑶ - 거듭제곱의 나눗셈

37쪽

$a \neq = 0$ 이고, $m$ , $n$ 이 자연수일 때

$m > n$ 이면 $a^{m} \div a^{n} = a^{m - n}$
$m = n$ 이면 $a^{m} \div a^{n} = 1$
$m < n$ 이면 $a^{m} \div a^{n} = \frac{1}{a ^{n - m}}$

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지수법칙 ⑷ - 곱 또는 몫의 거듭제곱

38쪽

$m$ 이 자연수일 때

$(ab)^{m} = a^{m} b^{m}$
$(\frac{a}{b})^{m} = \frac{a ^{m}}{b ^{m}}$ (단, $b \neq = 0$ )

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중학교 › 2학년

3부등식과 연립방정식

중학교 수학 2 · 동아출판 · 1개

3.1부등식의 해와 성질

부등식의 성질

65쪽

$a < b$ 일 때, $a + c < b + c$ , $a - c < b - c$
$a < b$ 일 때, $c > 0$ 이면 $a c < b c$ , $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$
$a < b$ 일 때, $c < 0$ 이면 $a c > b c$ , $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$

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중학교 › 2학년

4일차함수와 그래프

중학교 수학 2 · 동아출판 · 8개

4.2일차함수의 뜻과 그 그래프

일차함수 $y = a x + b$ 의 그래프

107쪽

일차함수 $y = a x + b$ 의 그래프는 일차함수 $y = a x$ 의 그래프를 $y$ 축의 방향으로 $b$ 만큼 평행이동한 직선이다.

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4.3일차함수 그래프의 절편과 기울기

일차함수의 그래프의 기울기

113쪽

일차함수 $y = a x + b$ 의 그래프에서

$(기울기) = \frac{( y 의 값의 증가량 )}{( x 의 값의 증가량 )} = a$

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4.4일차함수의 그래프의 성질

일차함수 $y = a x + b$ 의 그래프의 성질

118쪽

$a > 0$ 이면 오른쪽 위로 향한다.
$a < 0$ 이면 오른쪽 아래로 향한다.

참고 $b > 0$ 이면 $y$ 축과 양의 부분에서 만나고, $b < 0$ 이면 음의 부분에서 만난다.

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일차함수의 그래프의 기울기와 평행

118쪽

기울기가 같은 두 일차함수의 그래프는 서로 평행하거나 일치한다.
서로 평행한 두 일차함수의 그래프의 기울기는 같다.

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4.6일차함수와 일차방정식의 관계

일차방정식의 그래프와 일차함수의 그래프

128쪽

미지수가 2개인 일차방정식 $a x + b y + c = 0 (a \neq = 0, b \neq = 0)$ 의 그래프는 일차함수 $y = - \frac{a}{b} x - \frac{c}{b}$ 의 그래프와 같다.

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일차방정식 $x = p$ 와 $y = q$ 의 그래프

129쪽

$x = p (p \neq = 0)$ 의 그래프는 점 $(p, 0)$ 을 지나고 $y$ 축에 평행한 직선이다.
$y = q (q \neq = 0)$ 의 그래프는 점 $(0, q)$ 를 지나고 $x$ 축에 평행한 직선이다.

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4.7두 일차함수의 그래프와 연립일차방정식

두 일차함수의 그래프와 연립방정식의 관계

133쪽

미지수가 2개인 두 일차방정식으로 이루어진 연립방정식의 해는 각 일차방정식의 그래프, 즉 두 일차함수의 그래프의 교점의 좌표와 같다.

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연립방정식의 해와 그래프

134쪽

연립방정식에서 각 일차방정식의 그래프인 두 직선이

한 점에서 만나면 연립방정식의 해는 하나이다.
평행하면 연립방정식의 해는 없다.
일치하면 연립방정식의 해는 무수히 많다.

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중학교 › 2학년

5삼각형의 성질

중학교 수학 2 · 동아출판 · 5개

5.1이등변삼각형의 성질

이등변삼각형의 성질

147쪽

이등변삼각형에서

두 밑각의 크기는 같다.
꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다.

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이등변삼각형이 되는 조건

148쪽

두 내각의 크기가 같은 삼각형은 이등변삼각형이다.

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5.2직각삼각형의 합동 조건

직각삼각형의 합동 조건

152쪽

두 직각삼각형은 다음의 두 경우에 서로 합동이다.

빗변의 길이가 같고 한 예각의 크기가 같을 때 (RHA 합동)
빗변의 길이가 같고 다른 한 변의 길이가 같을 때 (RHS 합동)

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5.3삼각형의 외심

삼각형의 외심

156쪽

삼각형의 세 변의 수직이등분선은 한 점(외심)에서 만난다.
외심에서 삼각형의 세 꼭짓점에 이르는 거리는 모두 같다.

참고직각삼각형의 외심은 빗변의 중점이다.

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5.4삼각형의 내심

삼각형의 내심

162쪽

삼각형의 세 내각의 이등분선은 한 점(내심)에서 만난다.
내심에서 삼각형의 세 변에 이르는 거리는 모두 같다.

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중학교 › 2학년

6사각형의 성질

중학교 수학 2 · 동아출판 · 4개

6.1평행사변형의 성질

평행사변형의 성질

176쪽

평행사변형에서

두 쌍의 대변의 길이는 각각 같다.
두 쌍의 대각의 크기는 각각 같다.
두 대각선은 서로를 이등분한다.

교과서 원문 보기

6.2평행사변형이 되는 조건

사각형이 평행사변형이 되는 조건

180쪽

두 쌍의 대변이 각각 평행하다.
두 쌍의 대변의 길이가 각각 같다.
두 쌍의 대각의 크기가 각각 같다.
두 대각선이 서로를 이등분한다.
한 쌍의 대변이 평행하고, 그 길이가 같다.

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6.3여러 가지 사각형의 성질

직사각형의 대각선의 성질

185쪽

직사각형에서 두 대각선은 길이가 같고, 서로를 이등분한다.

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정사각형의 대각선의 성질

187쪽

정사각형에서 두 대각선은 길이가 같고, 서로를 수직이등분한다.

참고마름모에서 두 대각선은 서로를 수직이등분한다.

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중학교 › 2학년

7도형의 닮음과 피타고라스 정리

중학교 수학 2 · 동아출판 · 10개

7.1도형의 닮음

평면도형에서 닮음의 성질

201쪽

서로 닮은 두 평면도형에서

대응변의 길이의 비는 일정하다.
대응각의 크기는 각각 같다.

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입체도형에서 닮음의 성질

203쪽

서로 닮은 두 입체도형에서

대응하는 모서리의 길이의 비는 일정하다.
대응하는 면은 서로 닮은 도형이다.

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서로 닮은 도형의 넓이의 비와 부피의 비

204쪽

서로 닮은 두 평면도형의 닮음비가 $m : n$ 이면 넓이의 비는 $m^{2} : n^{2}$ 이다.
서로 닮은 두 입체도형의 닮음비가 $m : n$ 이면 부피의 비는 $m^{3} : n^{3}$ 이다.

교과서 원문 보기

7.2삼각형의 닮음 조건

삼각형의 닮음 조건

209쪽

두 삼각형은 다음의 각 경우에 서로 닮은 도형이다.

세 쌍의 대응변의 길이의 비가 같을 때 (SSS 닮음): $a : a^{'} = b : b^{'} = c : c^{'}$
두 쌍의 대응변의 길이의 비가 같고, 그 끼인각의 크기가 같을 때 (SAS 닮음): $a : a^{'} = c : c^{'}$ , $∠ B = ∠ B^{'}$
두 쌍의 대응각의 크기가 각각 같을 때 (AA 닮음): $∠ B = ∠ B^{'}$ , $∠ C = ∠ C^{'}$

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7.3삼각형과 평행선

삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비

213쪽

$△ A BC$ 에서 $\overline{A B}$ , $\overline{A C}$ 또는 그 연장선 위의 점 D, E에 대하여 $\overline{BC} / / \overline{D E}$ 이면

$\overline{A B} : \overline{A D} = \overline{A C} : \overline{A E} = \overline{BC} : \overline{D E}$
$\overline{A D} : \overline{D B} = \overline{A E} : \overline{EC}$

교과서 원문 보기

삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분의 성질

214쪽

$△ A BC$ 에서 두 변 AB, AC의 중점을 각각 D, E라고 하면

$\overline{D E} / / \overline{BC}$ , $\overline{D E} = \frac{1}{2} \overline{BC}$

평행선 사이에 있는 선분의 길이의 비

215쪽

세 평행선이 다른 두 직선과 만나서 생기는 선분의 길이의 비는 같다. 즉, $l / / m / / n$ 이면 $a : b = c : d$

교과서 원문 보기

7.4삼각형의 무게중심

삼각형의 무게중심

219쪽

삼각형의 세 중선은 한 점(무게중심)에서 만난다.
삼각형의 무게중심은 세 중선의 길이를 각 꼭짓점으로부터 각각 $2 : 1$ 로 나눈다. 즉, $\overline{A G} : \overline{G D} = \overline{BG} : \overline{GE} = \overline{CG} : \overline{GF} = 2 : 1$

교과서 원문 보기

7.5피타고라스 정리

피타고라스 정리

223쪽

직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이를 각각 $a$ , $b$ 라 하고, 빗변의 길이를 $c$ 라고 하면

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

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직각삼각형이 되는 조건

225쪽

세 변의 길이가 각각 $a$ , $b$ , $c$ 인 삼각형에서 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 이면 이 삼각형은 빗변의 길이가 $c$ 인 직각삼각형이다.

중학교 › 2학년

8경우의 수와 확률

중학교 수학 2 · 동아출판 · 7개

8.1경우의 수

사건 A 또는 사건 B가 일어나는 경우의 수

239쪽

두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때, 사건 A가 일어나는 경우의 수가 $m$ , 사건 B가 일어나는 경우의 수가 $n$ 이면

$(사건 A 또는 사건 B 가 일어나는 경우의 수) = m + n$

사건 A와 사건 B가 동시에 일어나는 경우의 수

240쪽

사건 A가 일어나는 경우의 수가 $m$ 이고, 그 각각에 대하여 사건 B가 일어나는 경우의 수가 $n$ 이면

$(사건 A 와 사건 B 가 동시에 일어나는 경우의 수) = m \times n$

8.2확률의 뜻

확률

244쪽

어떤 실험이나 관찰에서 각 경우가 일어날 가능성이 모두 같을 때, 일어날 수 있는 모든 경우의 수를 $n$ , 사건 A가 일어나는 경우의 수를 $a$ 라고 하면 사건 A가 일어날 확률 $p$ 는

$p = \frac{( 사건 A 가 일어나는 경우의 수 )}{( 모든 경우의 수 )} = \frac{a}{n}$

8.3확률의 성질

확률의 기본 성질

247쪽

어떤 사건이 일어날 확률을 $p$ 라고 하면 $0 \leq p \leq 1$ 이다.
절대로 일어나지 않는 사건의 확률은 0이다.
반드시 일어나는 사건의 확률은 1이다.

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어떤 사건이 일어나지 않을 확률

249쪽

사건 A가 일어날 확률을 $p$ 라고 하면

$(사건 A 가 일어나지 않을 확률) = 1 - p$

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8.4확률의 계산

확률의 덧셈

251쪽

두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때, 사건 A가 일어날 확률을 $p$ , 사건 B가 일어날 확률을 $q$ 라고 하면

$(사건 A 또는 사건 B 가 일어날 확률) = p + q$

확률의 곱셈

253쪽

두 사건 A, B가 서로 영향을 끼치지 않을 때, 사건 A가 일어날 확률을 $p$ , 사건 B가 일어날 확률을 $q$ 라고 하면

$(사건 A 와 사건 B 가 동시에 일어날 확률) = p \times q$

중학교 › 3학년

1실수와 그 계산

중학교 수학 3 · 동아출판 · 9개

1.2제곱근의 성질과 대소 관계

제곱근의 성질

15쪽

$a > 0$ 일 때

$(a)^{2} = a$ , $(- a)^{2} = a$
$a^{2} = a$ , $(- a)^{2} = a$

참고 $a > 0$ 일 때, $(- a)^{2}$ 을 $- a$ 로 생각하지 않도록 주의한다.

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제곱근의 대소 관계

16쪽

$a > 0$ , $b > 0$ 일 때

$a < b$ 이면 $a < b$
$a < b$ 이면 $a < b$

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1.4제곱근의 곱셈

제곱근의 곱셈 ⑴

26쪽

$a > 0$ , $b > 0$ 일 때

$a b = ab$

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제곱근의 곱셈 ⑵

26쪽

$a > 0$ , $b > 0$ 일 때

$a^{2} b = a b$

참고근호 안에 어떤 수의 제곱이 있으면 근호 밖으로 꺼낼 수 있다.

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1.5제곱근의 나눗셈

제곱근의 나눗셈

30쪽

$a > 0$ , $b > 0$ 일 때

$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$

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분모의 유리화

31쪽

$a > 0$ , $b > 0$ 일 때

$\frac{a}{b} = \frac{a \times b}{b \times b} = \frac{ab}{b}$

1.6제곱근의 덧셈과 뺄셈

제곱근의 덧셈과 뺄셈

34쪽

근호 안의 수가 같은 것끼리 모아서 계산한다. 예: $35 + 25 = (3 + 2) 5 = 55$

1.7실수의 대소 관계

실수의 대소 관계 ⑴

39쪽

양수는 0보다 크고, 음수는 0보다 작다.
양수는 음수보다 크다.
두 양수에서는 절댓값이 큰 수가 크다.
두 음수에서는 절댓값이 큰 수가 작다.

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실수의 대소 관계 ⑵

40쪽

두 실수 $a$ , $b$ 에 대하여

$a - b > 0$ 이면 $a > b$
$a - b = 0$ 이면 $a = b$
$a - b < 0$ 이면 $a < b$

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중학교 › 3학년

2다항식의 곱셈과 인수분해

중학교 수학 3 · 동아출판 · 10개

2.1다항식의 곱셈

다항식의 곱셈

50쪽

$(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d$

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2.2다항식의 제곱의 전개

곱셈 공식 - 다항식의 제곱

54쪽

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$

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2.3합과 차의 곱의 전개

곱셈 공식 - 합과 차의 곱

58쪽

$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

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2.4두 일차식의 곱의 전개

곱셈 공식 - 두 일차식의 곱 ⑴

62쪽

$(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + ab$

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곱셈 공식 - 두 일차식의 곱 ⑵

62쪽

$(a x + b) (c x + d) = a c x^{2} + (a d + b c) x + b d$

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2.5인수분해의 뜻

공통인 인수를 이용한 인수분해

67쪽

$ma + mb = m (a + b)$

2.6 $a^{2} + 2 ab + b^{2}$ , $a^{2} - 2 ab + b^{2}$ 의 인수분해

$a^{2} + 2 ab + b^{2}$ , $a^{2} - 2 ab + b^{2}$ 의 인수분해

71쪽

$a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$
$a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$

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2.7 $a^{2} - b^{2}$ 의 인수분해

$a^{2} - b^{2}$ 의 인수분해

75쪽

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

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2.8 $x^{2} + (a + b) x + ab$ , $a c x^{2} + (a d + b c) x + b d$ 의 인수분해

$x^{2} + (a + b) x + ab$ 의 인수분해

79쪽

$x^{2} + (a + b) x + ab = (x + a) (x + b)$

참고합이 $x$ 의 계수, 곱이 상수항인 두 정수 $a$ , $b$ 를 찾는다.

교과서 원문 보기

$a c x^{2} + (a d + b c) x + b d$ 의 인수분해

80쪽

$a c x^{2} + (a d + b c) x + b d = (a x + b) (c x + d)$

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중학교 › 3학년

3이차방정식

중학교 수학 3 · 동아출판 · 3개

3.2인수분해를 이용한 이차방정식의 풀이

$A B = 0$ 의 성질

97쪽

$A B = 0$ 이면 $A = 0$ 또는 $B = 0$

참고‘ $A B = 0$ ’과 ‘ $A = 0$ 또는 $B = 0$ ’은 같은 뜻이다.

3.3제곱근을 이용한 이차방정식의 풀이

제곱근을 이용한 이차방정식의 풀이

104쪽

$x^{2} = k (k \geq 0)$ 이면 $x = \pm k$
$(x - p)^{2} = k (k \geq 0)$ 이면 $x = p \pm k$

3.4근의 공식을 이용한 이차방정식의 풀이

이차방정식의 근의 공식

107쪽

이차방정식 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq = 0)$ 의 근은

$x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ (단, $b^{2} - 4 a c \geq 0$ )

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중학교 › 3학년

4이차함수와 그래프

중학교 수학 3 · 동아출판 · 7개

4.2이차함수 $y = x^{2}$ , $y = - x^{2}$ 의 그래프

이차함수 $y = x^{2}$ 의 그래프

126쪽

원점을 지나며 아래로 볼록한 곡선이다.
$y$ 축에 대칭이다.
$x < 0$ 이면 $x$ 의 값이 증가할 때 $y$ 의 값은 감소하고, $x > 0$ 이면 $x$ 의 값이 증가할 때 $y$ 의 값도 증가한다.
원점을 제외한 모든 부분은 $x$ 축보다 위쪽에 있다.

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4.3이차함수 $y = a x^{2}$ 의 그래프

이차함수 $y = a x^{2}$ 의 그래프

132쪽

원점을 꼭짓점으로 하고, $y$ 축을 축으로 하는 포물선이다.
$a > 0$ 이면 아래로 볼록하고, $a < 0$ 이면 위로 볼록하다.
$∣ a ∣$ 의 값이 클수록 그래프의 폭이 좁아진다.
$y = - a x^{2}$ 의 그래프와 $x$ 축에 대칭이다.

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4.4이차함수 $y = a x^{2} + q$ 의 그래프

이차함수 $y = a x^{2} + q$ 의 그래프

135쪽

이차함수 $y = a x^{2}$ 의 그래프를 $y$ 축의 방향으로 $q$ 만큼 평행이동한 것이다.
$y$ 축을 축으로 하고, 점 $(0, q)$ 를 꼭짓점으로 하는 포물선이다.

교과서 원문 보기

4.5이차함수 $y = a (x - p)^{2}$ 의 그래프

이차함수 $y = a (x - p)^{2}$ 의 그래프

139쪽

이차함수 $y = a x^{2}$ 의 그래프를 $x$ 축의 방향으로 $p$ 만큼 평행이동한 것이다.
직선 $x = p$ 를 축으로 하고, 점 $(p, 0)$ 을 꼭짓점으로 하는 포물선이다.

교과서 원문 보기

4.6이차함수 $y = a (x - p)^{2} + q$ 의 그래프

이차함수 $y = a (x - p)^{2} + q$ 의 그래프

144쪽

이차함수 $y = a x^{2}$ 의 그래프를 $x$ 축의 방향으로 $p$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $q$ 만큼 평행이동한 것이다.
직선 $x = p$ 를 축으로 하고, 점 $(p, q)$ 를 꼭짓점으로 하는 포물선이다.

교과서 원문 보기

4.7이차함수 $y = a x^{2} + b x + c$ 의 그래프

이차함수 $y = a x^{2} + b x + c$ 의 그래프

148쪽

$y = a (x - p)^{2} + q$ 의 꼴로 고쳐서 그릴 수 있다.
점 $(0, c)$ 를 지난다.
$a > 0$ 이면 아래로 볼록하고, $a < 0$ 이면 위로 볼록하다.

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$y = a x^{2} + b x + c$ 의 축과 꼭짓점

149쪽

$y = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a}$
축의 방정식: $x = - \frac{b}{2 a}$
꼭짓점의 좌표: $(- \frac{b}{2 a}, - \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a})$
$y$ 축과의 교점의 좌표: $(0, c)$

중학교 › 3학년

5삼각비

중학교 수학 3 · 동아출판 · 5개

5.1삼각비의 뜻

삼각비의 뜻

160쪽

$∠ C = 9 0^{\circ}$ 인 직각삼각형 ABC에서 $∠ A$ , $∠ B$ , $∠ C$ 의 대변의 길이를 각각 $a$ , $b$ , $c$ 라고 할 때

$sin A = \frac{a}{c}$ , $cos A = \frac{b}{c}$ , $tan A = \frac{a}{b}$

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5.2 $3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ 의 삼각비의 값

$3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ 의 삼각비의 값

165쪽

$A$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$
$sin A$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$
$cos A$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$
$tan A$	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$

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5.3예각의 삼각비의 값

$0^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ 의 삼각비의 값

171쪽

$sin 0^{\circ} = 0$ , $cos 0^{\circ} = 1$ , $tan 0^{\circ} = 0$
$sin 9 0^{\circ} = 1$ , $cos 9 0^{\circ} = 0$

참고 $tan 9 0^{\circ}$ 의 값은 정할 수 없다.

예각의 삼각비의 값(사분원)

172쪽

좌표평면 위의 원점 O를 중심으로 하고 반지름의 길이가 1인 사분원에서

$sin x = \frac{A B}{O A} = \overline{A B}$ , $cos x = \frac{OB}{O A} = \overline{OB}$ , $tan x = \frac{C D}{OC} = \overline{C D}$

5.4삼각비의 활용

삼각형의 넓이

178쪽

$△ A BC$ 에서 두 변의 길이 $b$ , $c$ 와 그 끼인각인 $∠ A$ 의 크기를 알 때, 넓이 $S$ 는

$∠ A$ 가 예각인 경우: $S = \frac{1}{2} b c sin A$
$∠ A$ 가 둔각인 경우: $S = \frac{1}{2} b c sin (18 0^{\circ} - A)$

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중학교 › 3학년

6원의 성질

중학교 수학 3 · 동아출판 · 8개

6.1원과 현

원의 중심과 현의 수직이등분선

190쪽

원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분한다.
현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지난다.

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원의 중심과 현의 길이

191쪽

한 원에서 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같다.
한 원에서 길이가 같은 두 현은 원의 중심으로부터 같은 거리에 있다.

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6.2원과 접선

접선의 길이

196쪽

원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 서로 같다. 즉, $\overline{P A} = \overline{PB}$

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6.3원주각

원주각과 중심각의 크기

201쪽

한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 크기의 $\frac{1}{2}$ 과 같다. 즉, $∠ A PB = \frac{1}{2} ∠ A OB$
한 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같다. 즉, $∠ A PB = ∠ A QB$

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원주각의 크기와 호의 길이

202쪽

한 원에서 같은 길이의 호에 대한 원주각의 크기는 서로 같다.
한 원에서 같은 크기의 원주각에 대한 호의 길이는 서로 같다.

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6.4원주각의 활용

원의 접선과 현이 이루는 각

206쪽

원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같다. 즉, $∠ B A T = ∠ BC A$

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네 점이 한 원 위에 있을 조건

207쪽

두 점 C, D가 직선 AB에 대하여 같은 쪽에 있을 때, $∠ A CB = ∠ A D B$ 이면 네 점 A, B, C, D는 한 원 위에 있다.

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원에 내접하는 사각형의 성질

209쪽

원에 내접하는 사각형에서 마주 보는 두 내각의 크기의 합은 $18 0^{\circ}$ 이다.

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중학교 › 3학년

7통계

중학교 수학 3 · 동아출판 · 4개

7.1대푯값

평균

219쪽

$(평균) = \frac{( 변량 ) 의 총합}{( 변량 ) 의 개수}$

중앙값

220쪽

자료를 작은 값부터 크기순으로 나열할 때

자료의 개수가 홀수이면 가운데 위치한 값이 중앙값이다.
자료의 개수가 짝수이면 가운데 위치한 두 값의 평균이 중앙값이다.

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7.2분산과 표준편차

편차

226쪽

$(편차) = (변량) - (평균)$

분산과 표준편차

227쪽

$(분산) = \frac{( 편차 ) ^{2} 의 총합}{( 변량 ) 의 개수}$
$(표준편차) = (분산)$

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고등학교 › 공통수학1

Ⅰ다항식

고등학교 공통수학1 · 동아출판 · 8개

Ⅰ-1다항식의 덧셈과 뺄셈

다항식의 덧셈의 성질

11쪽

세 다항식 $A$ , $B$ , $C$ 에 대하여

교환법칙: $A + B = B + A$
결합법칙: $(A + B) + C = A + (B + C)$

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Ⅰ-2다항식의 곱셈과 나눗셈

다항식의 곱셈의 성질

13쪽

세 다항식 $A$ , $B$ , $C$ 에 대하여

교환법칙: $A B = B A$
결합법칙: $(A B) C = A (BC)$
분배법칙: $A (B + C) = A B + A C$ , $(A + B) C = A C + BC$

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곱셈 공식

14쪽

$(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 b c + 2 c a$
$(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ , $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$
$(a + b) (a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} + b^{3}$ , $(a - b) (a^{2} + ab + b^{2}) = a^{3} - b^{3}$

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다항식의 나눗셈

16쪽

다항식 $A$ 를 다항식 $B (B \neq = 0)$ 로 나누었을 때의 몫을 $Q$ , 나머지를 $R$ 이라고 하면

$A = BQ + R$ (단, $R$ 의 차수는 $B$ 의 차수보다 낮다.)

참고 $R = 0$ 이면 $A$ 는 $B$ 로 나누어떨어진다고 한다.

Ⅰ-3항등식과 나머지정리

항등식의 성질

22쪽

등식 $a x^{2} + b x + c = 0$ 이 $x$ 에 대한 항등식이면 $a = 0$ , $b = 0$ , $c = 0$ 이다. 또한, $a = 0$ , $b = 0$ , $c = 0$ 이면 등식 $a x^{2} + b x + c = 0$ 은 $x$ 에 대한 항등식이다.
등식 $a x^{2} + b x + c = a^{'} x^{2} + b^{'} x + c^{'}$ 이 $x$ 에 대한 항등식이면 $a = a^{'}$ , $b = b^{'}$ , $c = c^{'}$ 이다. 또한, $a = a^{'}$ , $b = b^{'}$ , $c = c^{'}$ 이면 등식 $a x^{2} + b x + c = a^{'} x^{2} + b^{'} x + c^{'}$ 은 $x$ 에 대한 항등식이다.

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나머지정리

23쪽

다항식 $P (x)$ 를 일차식 $x - α$ 로 나누었을 때의 나머지를 $R$ 이라고 하면

$R = P (α)$

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인수정리

24쪽

다항식 $P (x)$ 에 대하여

$P (α) = 0$ 이면 다항식 $P (x)$ 는 일차식 $x - α$ 로 나누어떨어진다.
다항식 $P (x)$ 가 일차식 $x - α$ 로 나누어떨어지면 $P (α) = 0$ 이다.

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Ⅰ-4인수분해

인수분해 공식

27쪽

$a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 b c + 2 c a = (a + b + c)^{2}$
$a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} = (a + b)^{3}$ , $a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} = (a - b)^{3}$
$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ , $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$

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고등학교 › 공통수학1

Ⅱ복소수와 이차방정식

고등학교 공통수학1 · 동아출판 · 8개

Ⅱ-1복소수의 뜻과 연산

복소수가 서로 같을 조건

39쪽

$a$ , $b$ , $c$ , $d$ 가 실수일 때

$a = c$ , $b = d$ 이면 $a + bi = c + d i$ 이다.
$a + bi = c + d i$ 이면 $a = c$ , $b = d$ 이다.

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복소수의 덧셈과 뺄셈

40쪽

$a$ , $b$ , $c$ , $d$ 가 실수일 때

$(a + bi) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i$
$(a + bi) - (c + d i) = (a - c) + (b - d) i$

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복소수의 곱셈

41쪽

$a$ , $b$ , $c$ , $d$ 가 실수일 때

$(a + bi) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i$

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복소수의 나눗셈

41쪽

$a$ , $b$ , $c$ , $d$ 가 실수이고 $c + d i \neq = 0$ 일 때

$\frac{a + bi}{c + d i} = \frac{a c + b d}{c ^{2} + d ^{2}} + \frac{b c - a d}{c ^{2} + d ^{2}} i$

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음수의 제곱근

42쪽

$a > 0$ 일 때

$- a = a i$
$- a$ 의 제곱근은 $a i$ 와 $- a i$ 이다.

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Ⅱ-2이차방정식의 판별식

이차방정식의 근의 판별

46쪽

계수가 실수인 이차방정식 $a x^{2} + b x + c = 0$ 에서 $D = b^{2} - 4 a c$ 라고 할 때

$D > 0$ 이면 서로 다른 두 실근을 갖는다.
$D = 0$ 이면 중근(실근)을 갖는다.
$D < 0$ 이면 서로 다른 두 허근을 갖는다.

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Ⅱ-3이차방정식의 근과 계수의 관계

이차방정식의 근과 계수의 관계

49쪽

이차방정식 $a x^{2} + b x + c = 0$ 의 두 근을 $α$ , $β$ 라고 하면

$α + β = - \frac{b}{a}$ , $α β = \frac{c}{a}$

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두 수를 근으로 하는 이차방정식

51쪽

두 수 $α$ , $β$ 를 근으로 하고 $x^{2}$ 의 계수가 1인 이차방정식은

$x^{2} - (α + β) x + α β = 0$

교과서 원문 보기

고등학교 › 공통수학1

Ⅲ이차방정식과 이차함수

고등학교 공통수학1 · 동아출판 · 4개

Ⅲ-1이차방정식과 이차함수의 관계

이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계

60쪽

이차방정식 $a x^{2} + b x + c = 0$ 의 판별식을 $D = b^{2} - 4 a c$ 라고 할 때, 이차함수 $y = a x^{2} + b x + c$ 의 그래프와 $x$ 축은

$D > 0$ 이면 서로 다른 두 점에서 만난다.
$D = 0$ 이면 한 점에서 만난다(접한다).
$D < 0$ 이면 만나지 않는다.

참고이차함수의 그래프와 $x$ 축의 교점의 $x$ 좌표는 이차방정식 $a x^{2} + b x + c = 0$ 의 실근과 같다.

이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계

62쪽

이차방정식 $a x^{2} + (b - m) x + c - n = 0$ 의 판별식을 $D$ 라고 할 때, 이차함수 $y = a x^{2} + b x + c$ 의 그래프와 직선 $y = m x + n$ 은

$D > 0$ 이면 서로 다른 두 점에서 만난다.
$D = 0$ 이면 한 점에서 만난다(접한다).
$D < 0$ 이면 만나지 않는다.

Ⅲ-2이차함수의 최대, 최소

이차함수의 최대, 최소

66쪽

실수 전체의 범위에서 이차함수 $y = a (x - p)^{2} + q$ 는

$a > 0$ 이면 $x = p$ 에서 최솟값 $q$ 를 갖고, 최댓값은 없다.
$a < 0$ 이면 $x = p$ 에서 최댓값 $q$ 를 갖고, 최솟값은 없다.

제한된 범위에서 이차함수의 최대, 최소

67쪽

$x$ 의 값의 범위가 $α \leq x \leq β$ 일 때, 이차함수 $f (x) = a (x - p)^{2} + q$ 에서

$α \leq p \leq β$ 이면 $f (α)$ , $f (p)$ , $f (β)$ 중에서 가장 큰 값이 최댓값이고 가장 작은 값이 최솟값이다.
$p < α$ 또는 $p > β$ 이면 $f (α)$ , $f (β)$ 중에서 큰 값이 최댓값이고 작은 값이 최솟값이다.

고등학교 › 공통수학1

Ⅳ여러 가지 방정식과 부등식

고등학교 공통수학1 · 동아출판 · 2개

Ⅳ-4절댓값을 포함한 일차부등식

절댓값을 포함한 부등식

89쪽

$a > 0$ 일 때

$∣ x ∣ < a$ 이면 $- a < x < a$
$∣ x ∣ > a$ 이면 $x < - a$ 또는 $x > a$

참고 $∣ x - a ∣ = {x - a - x + a (x \geq a) (x < a)$ 와 같이 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 $x$ 의 값을 기준으로 범위를 나누어 푼다.

Ⅳ-5이차부등식

이차부등식의 해

94쪽

$a > 0$ 일 때, 이차방정식 $a x^{2} + b x + c = 0$ 의 판별식을 $D$ , 두 실근을 $α$ , $β (α \leq β)$ 라고 하면

	$D > 0$	$D = 0$	$D < 0$
$a x^{2} + b x + c > 0$	$x < α$ 또는 $x > β$	$x \neq = α$ 인 모든 실수	모든 실수
$a x^{2} + b x + c \geq 0$	$x \leq α$ 또는 $x \geq β$	모든 실수	모든 실수
$a x^{2} + b x + c < 0$	$α < x < β$	해는 없다.	해는 없다.
$a x^{2} + b x + c \leq 0$	$α \leq x \leq β$	$x = α$	해는 없다.

참고 $a < 0$ 인 경우에는 양변에 $- 1$ 을 곱하여 이차항의 계수가 양수인 부등식으로 바꾸어 푼다. 이때 부등호의 방향이 바뀌는 것에 주의한다.

고등학교 › 공통수학1

Ⅴ경우의 수

고등학교 공통수학1 · 동아출판 · 5개

Ⅴ-1경우의 수

합의 법칙

106쪽

두 사건 $A$ , $B$ 가 동시에 일어나지 않을 때, 사건 $A$ 와 사건 $B$ 가 일어나는 경우의 수가 각각 $m$ , $n$ 이면 사건 $A$ 또는 사건 $B$ 가 일어나는 경우의 수는

$m + n$

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곱의 법칙

107쪽

두 사건 $A$ , $B$ 에 대하여 사건 $A$ 가 일어나는 경우의 수가 $m$ 이고, 그 각각에 대하여 사건 $B$ 가 일어나는 경우의 수가 $n$ 일 때, 두 사건 $A$ , $B$ 가 잇달아 일어나는 경우의 수는

$m \times n$

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Ⅴ-2순열

순열의 수 ⑴

111쪽

서로 다른 $n$ 개에서 $r$ 개를 택하는 순열의 수는

$_{n} P_{r} = n (n - 1) (n - 2) \times \dots \times (n - r + 1)$ (단, $0 < r \leq n$ )

교과서 원문 보기

순열의 수 ⑵

112쪽

$_{n} P_{n} = n!$ , $0! = 1$ , $_{n} P_{0} = 1$
$_{n} P_{r} = \frac{n !}{( n - r )!}$ (단, $0 \leq r \leq n$ )

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Ⅴ-3조합

조합의 수

116쪽

서로 다른 $n$ 개에서 $r$ 개를 택하는 조합의 수는

$_{n} C_{r} = \frac{_{n} P _{r}}{r !} = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}$ (단, $0 \leq r \leq n$ )

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고등학교 › 공통수학1

Ⅵ행렬

고등학교 공통수학1 · 동아출판 · 3개

Ⅵ-2행렬의 덧셈, 뺄셈과 실수배

행렬의 실수배

132쪽

행렬 $A = (a_{ij})$ 와 실수 $k$ 에 대하여

$k A = (k a_{ij})$

Ⅵ-3행렬의 곱셈

행렬의 곱셈

135쪽

$(a c b d) (p r q s) = (a p + b r c p + d r a q + b s c q + d s)$

참고행렬 $A$ 의 열의 개수와 행렬 $B$ 의 행의 개수가 같을 때에만 곱 $A B$ 를 정의한다.

단위행렬의 성질

136쪽

이차정사각행렬 $A$ 와 단위행렬 $I$ 에 대하여

$A I = I A = A$

고등학교 › 공통수학2

Ⅰ평면좌표와 직선의 방정식

고등학교 공통수학2 · 동아출판 · 8개

Ⅰ-1선분의 내분

좌표평면 위의 두 점 사이의 거리

11쪽

좌표평면 위의 두 점 $A (x_{1}, y_{1})$ , $B (x_{2}, y_{2})$ 사이의 거리는

$\overline{A B} = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$

참고원점 O와 점 $A (x_{1}, y_{1})$ 사이의 거리는 $\overline{O A} = x_{1}^{2} + y_{1}^{2}$

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수직선 위의 선분을 내분하는 점

12쪽

두 점 $A (x_{1})$ , $B (x_{2})$ 를 이은 선분 AB를 $m : n (m > 0, n > 0)$ 으로 내분하는 점을 P라고 하면

$P (\frac{m x _{2} + n x _{1}}{m + n})$

교과서 원문 보기

좌표평면 위의 선분을 내분하는 점

13쪽

두 점 $A (x_{1}, y_{1})$ , $B (x_{2}, y_{2})$ 를 이은 선분 AB를 $m : n (m > 0, n > 0)$ 으로 내분하는 점을 P라고 하면

$P (\frac{m x _{2} + n x _{1}}{m + n}, \frac{m y _{2} + n y _{1}}{m + n})$

참고선분 AB의 중점의 좌표는 $(\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$

교과서 원문 보기

한 점과 기울기가 주어진 직선의 방정식

16쪽

점 $(x_{1}, y_{1})$ 을 지나고 기울기가 $m$ 인 직선의 방정식은

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$

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Ⅰ-2두 직선의 평행과 수직

두 점을 지나는 직선의 방정식

17쪽

서로 다른 두 점 $A (x_{1}, y_{1})$ , $B (x_{2}, y_{2})$ 를 지나는 직선의 방정식은

$x_{1} \neq = x_{2}$ 일 때, $y - y_{1} = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} (x - x_{1})$
$x_{1} = x_{2}$ 일 때, $x = x_{1}$

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두 직선의 평행 조건

19쪽

두 직선 $l : y = m x + n$ , $l^{'} : y = m^{'} x + n^{'}$ 에서

$l$ 과 $l^{'}$ 이 서로 평행하면 $m = m^{'}$ , $n \neq = n^{'}$ 이다.
$m = m^{'}$ , $n \neq = n^{'}$ 이면 $l$ 과 $l^{'}$ 은 서로 평행하다.

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두 직선의 수직 조건

20쪽

두 직선 $l : y = m x + n$ , $l^{'} : y = m^{'} x + n^{'}$ 에서

$l$ 과 $l^{'}$ 이 서로 수직이면 $m m^{'} = - 1$ 이다.
$m m^{'} = - 1$ 이면 $l$ 과 $l^{'}$ 은 서로 수직이다.

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Ⅰ-3점과 직선 사이의 거리

점과 직선 사이의 거리

25쪽

점 $P (x_{1}, y_{1})$ 과 직선 $a x + b y + c = 0$ 사이의 거리 $d$ 는

$d = \frac{∣ a x _{1} + b y _{1} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$

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고등학교 › 공통수학2

Ⅱ원의 방정식과 도형의 이동

고등학교 공통수학2 · 동아출판 · 10개

Ⅱ-1원의 방정식

원의 방정식

34쪽

중심이 점 $(a, b)$ 이고 반지름의 길이가 $r$ 인 원의 방정식은

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

참고중심이 원점이고 반지름의 길이가 $r$ 인 원의 방정식은 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$

교과서 원문 보기

방정식 $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ 이 나타내는 도형

36쪽

$A^{2} + B^{2} - 4 C > 0$ 일 때, 방정식 $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ 은

중심이 점 $(- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2})$ 이고 반지름의 길이가 $\frac{A ^{2} + B ^{2} - 4 C}{2}$ 인 원을 나타낸다.

Ⅱ-2원과 직선의 위치 관계

원과 직선의 위치 관계(판별식)

39쪽

원 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 과 직선 $y = m x + n$ 에서 이차방정식 $(m^{2} + 1) x^{2} + 2 mn x + n^{2} - r^{2} = 0$ 의 판별식을 $D$ 라고 하면

$D > 0$ 이면 서로 다른 두 점에서 만난다.
$D = 0$ 이면 한 점에서 만난다(접한다).
$D < 0$ 이면 만나지 않는다.

원과 직선의 위치 관계(거리)

40쪽

원의 중심과 직선 사이의 거리를 $d$ , 원의 반지름의 길이를 $r$ 라고 하면

$d < r$ 이면 서로 다른 두 점에서 만난다.
$d = r$ 이면 한 점에서 만난다(접한다).
$d > r$ 이면 만나지 않는다.

기울기가 주어진 원의 접선의 방정식

41쪽

원 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 에 접하고 기울기가 $m$ 인 접선의 방정식은

$y = m x \pm r m^{2} + 1$

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원 위의 한 점을 지나는 접선의 방정식

42쪽

원 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 위의 점 $P (x_{1}, y_{1})$ 을 지나는 접선의 방정식은

$x_{1} x + y_{1} y = r^{2}$

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Ⅱ-3평행이동

점의 평행이동

45쪽

점 $P (x, y)$ 를 $x$ 축의 방향으로 $a$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $b$ 만큼 평행이동한 점은

$P^{'} (x + a, y + b)$

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도형의 평행이동

46쪽

방정식 $f (x, y) = 0$ 이 나타내는 도형을 $x$ 축의 방향으로 $a$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $b$ 만큼 평행이동한 도형의 방정식은

$f (x - a, y - b) = 0$

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Ⅱ-4대칭이동

점의 대칭이동

48쪽

점 $P (x, y)$ 를

$x$ 축에 대하여 대칭이동한 점: $(x, - y)$
$y$ 축에 대하여 대칭이동한 점: $(- x, y)$
원점에 대하여 대칭이동한 점: $(- x, - y)$
직선 $y = x$ 에 대하여 대칭이동한 점: $(y, x)$

도형의 대칭이동

50쪽

방정식 $f (x, y) = 0$ 이 나타내는 도형을

$x$ 축에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 $f (x, - y) = 0$
$y$ 축에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 $f (- x, y) = 0$
원점에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 $f (- x, - y) = 0$
직선 $y = x$ 에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 $f (y, x) = 0$

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고등학교 › 공통수학2

Ⅲ집합

고등학교 공통수학2 · 동아출판 · 4개

Ⅲ-2교집합과 합집합

집합의 연산 법칙

68쪽

세 집합 $A$ , $B$ , $C$ 에 대하여

교환법칙: $A \cap B = B \cap A$ , $A \cup B = B \cup A$
결합법칙: $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$ , $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$
분배법칙: $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ , $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$

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합집합의 원소의 개수

69쪽

두 집합 $A$ , $B$ 가 유한집합일 때

$n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)$

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Ⅲ-3여집합과 차집합

여집합과 차집합의 성질

72쪽

전체집합 $U$ 의 두 부분집합 $A$ , $B$ 에 대하여

$A - B = A \cap B^{C}$
$U^{C} = \emptyset$ , $\emptyset^{C} = U$
$(A^{C})^{C} = A$
$A \cup A^{C} = U$ , $A \cap A^{C} = \emptyset$

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드모르간의 법칙

73쪽

전체집합 $U$ 의 두 부분집합 $A$ , $B$ 에 대하여

$(A \cup B)^{C} = A^{C} \cap B^{C}$
$(A \cap B)^{C} = A^{C} \cup B^{C}$

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고등학교 › 공통수학2

Ⅳ명제

고등학교 공통수학2 · 동아출판 · 5개

Ⅳ-1명제와 조건

‘모든’이나 ‘어떤’이 들어 있는 명제의 참, 거짓

84쪽

전체집합 $U$ 에 대하여 조건 $p$ 의 진리집합을 $P$ 라고 할 때

‘모든 $x$ 에 대하여 $p$ 이다.’는 $P = U$ 이면 참, $P \neq = U$ 이면 거짓이다.
‘어떤 $x$ 에 대하여 $p$ 이다.’는 $P \neq = \emptyset$ 이면 참, $P = \emptyset$ 이면 거짓이다.

교과서 원문 보기

Ⅳ-2명제 사이의 관계

명제 $p ⟶ q$ 의 참과 거짓

88쪽

두 조건 $p$ , $q$ 의 진리집합을 각각 $P$ , $Q$ 라고 할 때

명제 $p ⟶ q$ 가 참이면 $P \subset Q$ 이다. 또, $P \subset Q$ 이면 명제 $p ⟶ q$ 는 참이다.
명제 $p ⟶ q$ 가 거짓이면 $P \neq \subset Q$ 이다. 또, $P \neq \subset Q$ 이면 명제 $p ⟶ q$ 는 거짓이다.

교과서 원문 보기

명제와 그 대우의 관계

90쪽

명제 $p ⟶ q$ 가 참이면 그 대우 $\sim q ⟶ \sim p$ 도 참이다.
명제 $p ⟶ q$ 가 거짓이면 그 대우 $\sim q ⟶ \sim p$ 도 거짓이다.

교과서 원문 보기

Ⅳ-3명제의 증명

실수의 성질

95쪽

$a$ , $b$ 가 실수일 때

$a > b ⟺ a - b > 0$
$a^{2} \geq 0$ , $a^{2} + b^{2} \geq 0$
$a \geq 0$ , $b \geq 0$ 일 때, $a \geq b ⟺ a^{2} \geq b^{2}$
$a^{2} + b^{2} = 0 ⟺ a = b = 0$
$∣ a ∣^{2} = a^{2}$ , $∣ a ∣∣ b ∣ = ∣ ab ∣$ , $∣ a ∣ \geq a$

교과서 원문 보기

산술평균과 기하평균의 관계

96쪽

$a > 0$ , $b > 0$ 일 때

$\frac{a + b}{2} \geq ab$ (단, 등호는 $a = b$ 일 때 성립)

고등학교 › 공통수학2

Ⅴ함수와 그래프

고등학교 공통수학2 · 동아출판 · 2개

Ⅴ-2합성함수

합성함수

112쪽

두 함수 $f : X ⟶ Z$ , $g : Z ⟶ Y$ 의 합성함수는

$g \circ f : X ⟶ Y$ , $(g \circ f) (x) = g (f (x))$

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Ⅴ-3역함수

함수의 그래프와 역함수의 그래프

117쪽

함수 $y = f (x)$ 의 그래프와 역함수 $y = f^{- 1} (x)$ 의 그래프는 직선 $y = x$ 에 대하여 대칭이다.

참고 $(f^{- 1} \circ f) (x) = x (x \in X)$ , $(f \circ f^{- 1}) (y) = y (y \in Y)$

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고등학교 › 공통수학2

Ⅵ유리함수와 무리함수

고등학교 공통수학2 · 동아출판 · 6개

Ⅵ-1유리함수와 그 그래프

유리식의 성질

126쪽

다항식 $A$ , $B$ , $C (B \neq = 0, C \neq = 0)$ 에서

$\frac{A}{B} = \frac{A \times C}{B \times C}$
$\frac{A}{B} = \frac{A \div C}{B \div C}$

교과서 원문 보기

유리식의 계산

127쪽

다항식 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ 에서 (단, 분모는 모두 0이 아니다.)

$\frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A + B}{C}$ , $\frac{A}{C} - \frac{B}{C} = \frac{A - B}{C}$
$\frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{A \times C}{B \times D}$ , $\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{D}{C}$

유리함수 $y = \frac{k}{x} (k \neq = 0)$ 의 그래프

128쪽

정의역과 치역은 모두 0을 제외한 실수 전체의 집합이다.
원점에 대하여 대칭이다.
$k > 0$ 이면 그래프는 제1, 3사분면에 있고, $k < 0$ 이면 그래프는 제2, 4사분면에 있다.
점근선은 $x$ 축과 $y$ 축이다.

교과서 원문 보기

유리함수 $y = \frac{k}{x - p} + q (k \neq = 0)$ 의 그래프

129쪽

$y = \frac{k}{x}$ 의 그래프를 $x$ 축의 방향으로 $p$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $q$ 만큼 평행이동한 것이다.
정의역은 ${x ∣ x \neq = p 인 실수}$ , 치역은 ${y ∣ y \neq = q 인 실수}$ 이다.
점근선은 두 직선 $x = p$ , $y = q$ 이고, 그래프는 점 $(p, q)$ 에 대하여 대칭이다.

참고유리함수 $y = \frac{a x + b}{c x + d} (c \neq = 0, a d - b c \neq = 0)$ 의 그래프는 $y = \frac{k}{x - p} + q$ 꼴로 변형하여 그릴 수 있다.

Ⅵ-2무리함수와 그 그래프

무리함수 $y = a x (a \neq = 0)$ 의 그래프

135쪽

$a > 0$ 이면 정의역은 ${x ∣ x \geq 0}$ , 치역은 ${y ∣ y \geq 0}$ 이고, $a < 0$ 이면 정의역은 ${x ∣ x \leq 0}$ , 치역은 ${y ∣ y \geq 0}$ 이다.
함수 $y = \frac{x ^{2}}{a} (x \geq 0)$ 의 그래프와 직선 $y = x$ 에 대하여 대칭이다.

교과서 원문 보기

무리함수 $y = a (x - p) + q (a \neq = 0)$ 의 그래프

136쪽

$y = a x$ 의 그래프를 $x$ 축의 방향으로 $p$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $q$ 만큼 평행이동한 것이다.
정의역은 $a > 0$ 이면 ${x ∣ x \geq p}$ , $a < 0$ 이면 ${x ∣ x \leq p}$ 이고, 치역은 ${y ∣ y \geq q}$ 이다.

참고무리함수 $y = a x + b + c$ 는 $y = a (x + \frac{b}{a}) + c$ 꼴로 변형하여 그린다.

고등학교 › 대수

Ⅰ지수와 로그

고등학교 대수 · 동아출판 · 10개

Ⅰ-1거듭제곱과 거듭제곱근

a의 실수인 n제곱근

12쪽

$n$ 이 2 이상의 정수일 때

	$a > 0$	$a = 0$	$a < 0$
$n$ 이 홀수	$n a$	$0$	$n a$
$n$ 이 짝수	$n a$ , $- n a$	$0$	없다.

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거듭제곱근의 성질

14쪽

$a > 0$ , $b > 0$ 이고, $m$ , $n$ 이 2 이상의 정수일 때

$n a n b = n ab$
$\frac{n a}{n b} = n \frac{a}{b}$
$(n a)^{m} = n a^{m}$
$m n a = mn a$

교과서 원문 보기

Ⅰ-2지수의 확장과 지수법칙

0 또는 음의 정수인 지수

18쪽

$a \neq = 0$ 이고, $n$ 이 양의 정수일 때

$a^{0} = 1$
$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$

교과서 원문 보기

지수가 정수일 때의 지수법칙

20쪽

$a \neq = 0$ , $b \neq = 0$ 이고, $m$ , $n$ 이 정수일 때

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$
$a^{m} \div a^{n} = a^{m - n}$
$(a^{m})^{n} = a^{mn}$
$(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$

교과서 원문 보기

유리수인 지수

20쪽

$a > 0$ 이고, $m$ , $n (n \geq 2)$ 이 정수일 때

$a^{\frac{m}{n}} = n a^{m}$ , $a^{\frac{1}{n}} = n a$

교과서 원문 보기

지수가 유리수일 때의 지수법칙

21쪽

$a > 0$ , $b > 0$ 이고, $r$ , $s$ 가 유리수일 때

$a^{r} a^{s} = a^{r + s}$
$a^{r} \div a^{s} = a^{r - s}$
$(a^{r})^{s} = a^{rs}$
$(ab)^{r} = a^{r} b^{r}$

교과서 원문 보기

지수가 실수일 때의 지수법칙

23쪽

$a > 0$ , $b > 0$ 이고, $x$ , $y$ 가 실수일 때

$a^{x} a^{y} = a^{x + y}$
$a^{x} \div a^{y} = a^{x - y}$
$(a^{x})^{y} = a^{x y}$
$(ab)^{x} = a^{x} b^{x}$

교과서 원문 보기

Ⅰ-3로그의 뜻과 성질

로그의 정의

25쪽

$a > 0$ , $a \neq = 1$ , $N > 0$ 일 때

$a^{x} = N ⟺ x = lo g_{a} N$

교과서 원문 보기

로그의 성질

27쪽

$a > 0$ , $a \neq = 1$ , $M > 0$ , $N > 0$ 일 때

$lo g_{a} 1 = 0$ , $lo g_{a} a = 1$
$lo g_{a} MN = lo g_{a} M + lo g_{a} N$
$lo g_{a} \frac{M}{N} = lo g_{a} M - lo g_{a} N$
$lo g_{a} M^{k} = k lo g_{a} M$ (단, $k$ 는 실수)

교과서 원문 보기

로그의 밑의 변환

29쪽

$a > 0$ , $a \neq = 1$ , $b > 0$ , $c > 0$ , $c \neq = 1$ 일 때

$lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}$

참고 $lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}$ (단, $b \neq = 1$ )

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고등학교 › 대수

Ⅱ지수함수와 로그함수

고등학교 대수 · 동아출판 · 4개

Ⅱ-1지수함수의 뜻과 그래프

지수함수 $y = a^{x} (a > 0, a \neq = 1)$ 의 성질

44쪽

정의역은 실수 전체의 집합, 치역은 양의 실수 전체의 집합이다.
그래프는 점 $(0, 1)$ 을 지나고, $x$ 축을 점근선으로 갖는다.
$a > 1$ 일 때 $x$ 의 값이 증가하면 $y$ 의 값도 증가하고, $0 < a < 1$ 일 때 $x$ 의 값이 증가하면 $y$ 의 값은 감소한다.

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Ⅱ-2로그함수의 뜻과 그래프

로그함수 $y = lo g_{a} x (a > 0, a \neq = 1)$ 의 성질

49쪽

정의역은 양의 실수 전체의 집합, 치역은 실수 전체의 집합이다.
그래프는 점 $(1, 0)$ 을 지나고, $y$ 축을 점근선으로 갖는다.
$a > 1$ 일 때 $x$ 의 값이 증가하면 $y$ 의 값도 증가하고, $0 < a < 1$ 일 때 $x$ 의 값이 증가하면 $y$ 의 값은 감소한다.

참고로그함수 $y = lo g_{a} x$ 의 그래프는 지수함수 $y = a^{x}$ 의 그래프와 직선 $y = x$ 에 대하여 대칭이다.

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Ⅱ-3지수함수의 활용

지수에 미지수가 있는 방정식과 부등식

53쪽

$a > 0$ , $a \neq = 1$ 일 때, $a^{x_{1}} = a^{x_{2}} ⟺ x_{1} = x_{2}$
$a > 1$ 일 때, $a^{x_{1}} < a^{x_{2}} ⟺ x_{1} < x_{2}$
$0 < a < 1$ 일 때, $a^{x_{1}} < a^{x_{2}} ⟺ x_{1} > x_{2}$

Ⅱ-4로그함수의 활용

로그의 진수에 미지수가 있는 방정식과 부등식

57쪽

$x_{1} > 0$ , $x_{2} > 0$ 에 대하여

$a > 0$ , $a \neq = 1$ 일 때, $lo g_{a} x_{1} = lo g_{a} x_{2} ⟺ x_{1} = x_{2}$
$a > 1$ 일 때, $lo g_{a} x_{1} < lo g_{a} x_{2} ⟺ x_{1} < x_{2}$
$0 < a < 1$ 일 때, $lo g_{a} x_{1} < lo g_{a} x_{2} ⟺ x_{1} > x_{2}$

참고진수는 항상 양수이어야 한다.

고등학교 › 대수

Ⅲ삼각함수

고등학교 대수 · 동아출판 · 9개

Ⅲ-1일반각과 호도법

호도법과 육십분법 사이의 관계

71쪽

1라디안 $= \frac{18 0 ^{\circ}}{π}$
$1^{\circ} = \frac{π}{180}$ 라디안

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부채꼴의 호의 길이와 넓이

73쪽

반지름의 길이가 $r$ , 중심각의 크기가 $θ$ 인 부채꼴의 호의 길이를 $l$ , 넓이를 $S$ 라고 하면

$l = r θ$
$S = \frac{1}{2} r^{2} θ = \frac{1}{2} r l$

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Ⅲ-2삼각함수의 뜻

삼각함수의 정의

76쪽

동경 OP가 나타내는 각을 $θ$ 라고 할 때

$sin θ = \frac{y}{r}$ , $cos θ = \frac{x}{r}$ , $tan θ = \frac{y}{x}$ (단, $x \neq = 0$ )

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삼각함수 사이의 관계

78쪽

$tan θ = \frac{sin θ}{cos θ}$
$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$

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Ⅲ-3삼각함수의 그래프

사인함수 $y = sin x$ , 코사인함수 $y = cos x$ 의 성질

83쪽

정의역은 실수 전체의 집합이고, 치역은 ${y ∣ - 1 \leq y \leq 1}$ 이다.
$y = sin x$ 의 그래프는 원점에 대하여 대칭이다. 즉, $sin (- x) = - sin x$ . $y = cos x$ 의 그래프는 $y$ 축에 대하여 대칭이다. 즉, $cos (- x) = cos x$
주기가 $2 π$ 인 주기함수이다. 즉, $sin (x + 2 nπ) = sin x$ , $cos (x + 2 nπ) = cos x$ (단, $n$ 은 정수)

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삼각함수의 주기와 최대, 최소

84쪽

$a \neq = 0$ , $b \neq = 0$ 일 때

$y = a sin b x$ , $y = a cos b x$ 의 주기는 $\frac{2 π}{∣ b ∣}$ , 최댓값은 $∣ a ∣$ , 최솟값은 $- ∣ a ∣$ 이다.
$y = a tan b x$ 의 주기는 $\frac{π}{∣ b ∣}$ 이다.

탄젠트함수 $y = tan x$ 의 성질

87쪽

정의역은 $nπ + \frac{π}{2}$ ( $n$ 은 정수)를 제외한 실수 전체의 집합이고, 치역은 실수 전체의 집합이다.
그래프의 점근선은 직선 $x = nπ + \frac{π}{2}$ ( $n$ 은 정수)이다.
그래프는 원점에 대하여 대칭이다. 즉, $tan (- x) = - tan x$
주기가 $π$ 인 주기함수이다. 즉, $tan (x + nπ) = tan x$ ( $n$ 은 정수)

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Ⅲ-4삼각함수의 성질

삼각함수의 성질 ⑴

90쪽

$sin (π + x) = - sin x$ , $cos (π + x) = - cos x$ , $tan (π + x) = tan x$
$sin (π - x) = sin x$ , $cos (π - x) = - cos x$ , $tan (π - x) = - tan x$

삼각함수의 성질 ⑵

92쪽

$sin (\frac{π}{2} + x) = cos x$ , $cos (\frac{π}{2} + x) = - sin x$ , $tan (\frac{π}{2} + x) = - \frac{1}{tan x}$
$sin (\frac{π}{2} - x) = cos x$ , $cos (\frac{π}{2} - x) = sin x$ , $tan (\frac{π}{2} - x) = \frac{1}{tan x}$

고등학교 › 대수

Ⅳ삼각함수의 활용

고등학교 대수 · 동아출판 · 3개

Ⅳ-1사인법칙

사인법칙

104쪽

삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 $R$ 이라고 하면

$\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$

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Ⅳ-2코사인법칙

코사인법칙

108쪽

삼각형 ABC에서

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$
$b^{2} = c^{2} + a^{2} - 2 c a cos B$
$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$

참고 $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ 와 같이 변형하여 세 변의 길이로 각의 크기를 구할 수 있다.

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Ⅳ-3삼각형의 넓이

삼각형의 넓이

113쪽

삼각형 ABC의 넓이를 $S$ 라고 하면

$S = \frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} a c sin B = \frac{1}{2} ab sin C$

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고등학교 › 대수

Ⅴ등차수열과 등비수열

고등학교 대수 · 동아출판 · 6개

Ⅴ-2등차수열

등차수열의 일반항

128쪽

첫째항이 $a$ , 공차가 $d$ 인 등차수열 ${a_{n}}$ 의 일반항 $a_{n}$ 은

$a_{n} = a + (n - 1) d$ (단, $n = 1, 2, 3, \dots$ )

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등차중항

130쪽

세 수 $a$ , $b$ , $c$ 가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때

$b = \frac{a + c}{2}$ , 즉 $2 b = a + c$

Ⅴ-3등차수열의 합

등차수열의 합

133쪽

등차수열의 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합 $S_{n}$ 은

첫째항이 $a$ , 제 $n$ 항이 $l$ 일 때 $S_{n} = \frac{n ( a + l )}{2}$
첫째항이 $a$ , 공차가 $d$ 일 때 $S_{n} = \frac{n { 2 a + ( n - 1 ) d }}{2}$

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Ⅴ-4등비수열

등비수열의 일반항

139쪽

첫째항이 $a$ , 공비가 $r (r \neq = 0)$ 인 등비수열 ${a_{n}}$ 의 일반항 $a_{n}$ 은

$a_{n} = a r^{n - 1}$ (단, $n = 1, 2, 3, \dots$ )

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등비중항

141쪽

0이 아닌 세 수 $a$ , $b$ , $c$ 가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때

$b^{2} = a c$

Ⅴ-5등비수열의 합

등비수열의 합

144쪽

첫째항이 $a$ , 공비가 $r (r \neq = 0)$ 인 등비수열의 첫째항부터 제 $n$ 항까지의 합 $S_{n}$ 은

$r \neq = 1$ 일 때 $S_{n} = \frac{a ( 1 - r ^{n} )}{1 - r} = \frac{a ( r ^{n} - 1 )}{r - 1}$
$r = 1$ 일 때 $S_{n} = na$

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고등학교 › 대수

Ⅵ수열의 합, 수학적 귀납법

고등학교 대수 · 동아출판 · 3개

Ⅵ-1합의 기호 Σ의 뜻과 성질

합의 기호 Σ의 성질

156쪽

$k = 1 \sum n (a_{k} + b_{k}) = k = 1 \sum n a_{k} + k = 1 \sum n b_{k}$
$k = 1 \sum n (a_{k} - b_{k}) = k = 1 \sum n a_{k} - k = 1 \sum n b_{k}$
$k = 1 \sum n c a_{k} = c k = 1 \sum n a_{k}$ (단, $c$ 는 상수)
$k = 1 \sum n c = c n$ (단, $c$ 는 상수)

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Ⅵ-2여러 가지 수열의 합

자연수의 거듭제곱의 합

159쪽

$k = 1 \sum n k = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$
$k = 1 \sum n k^{2} = 1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \dots + n^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$
$k = 1 \sum n k^{3} = 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3} = {\frac{n ( n + 1 )}{2}}^{2}$

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Ⅵ-4수학적 귀납법

수학적 귀납법

168쪽

자연수 $n$ 에 대한 명제 $p (n)$ 이 모든 자연수에 대하여 성립함을 증명하려면 다음 두 가지를 보이면 된다.

$n = 1$ 일 때 명제 $p (n)$ 이 성립한다.
$n = k$ 일 때 명제 $p (n)$ 이 성립한다고 가정하면, $n = k + 1$ 일 때에도 명제 $p (n)$ 이 성립한다.

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고등학교 › 미적분Ⅰ

Ⅰ함수의 극한과 연속

고등학교 미적분Ⅰ · 동아출판 · 7개

Ⅰ-1함수의 극한

극한값의 존재 조건

16쪽

$x \to a lim f (x) = L ⟺ x \to a + lim f (x) = x \to a - lim f (x) = L$

Ⅰ-2함수의 극한에 대한 성질

함수의 극한에 대한 성질

19쪽

두 함수 $f (x)$ , $g (x)$ 에서 $x \to a lim f (x) = L$ , $x \to a lim g (x) = M$ ( $L$ , $M$ 은 실수)일 때

$x \to a lim c f (x) = c x \to a lim f (x) = c L$ (단, $c$ 는 상수)
$x \to a lim {f (x) + g (x)} = L + M$
$x \to a lim {f (x) - g (x)} = L - M$
$x \to a lim f (x) g (x) = L M$
$x \to a lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = \frac{L}{M}$ (단, $M \neq = 0$ )

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함수의 극한의 대소 관계

24쪽

$a$ 가 아니면서 $a$ 에 가까운 모든 실수 $x$ 에서 $f (x) \leq g (x)$ 이고 $x \to a lim f (x)$ 와 $x \to a lim g (x)$ 가 존재하면 $x \to a lim f (x) \leq x \to a lim g (x)$
$a$ 가 아니면서 $a$ 에 가까운 모든 실수 $x$ 에서 $f (x) \leq h (x) \leq g (x)$ 이고 $x \to a lim f (x) = x \to a lim g (x) = L$ 이면 $x \to a lim h (x) = L$

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Ⅰ-3함수의 연속

연속의 조건

27쪽

함수 $f (x)$ 가 $x = a$ 에서 연속이려면

$f (a)$ 가 존재한다.
극한값 $x \to a lim f (x)$ 가 존재한다.
$x \to a lim f (x) = f (a)$

Ⅰ-4연속함수의 성질

연속함수의 성질

31쪽

두 함수 $f (x)$ , $g (x)$ 가 각각 $x = a$ 에서 연속이면 다음 함수도 $x = a$ 에서 연속이다.

$c f (x)$ (단, $c$ 는 상수)
$f (x) + g (x)$ , $f (x) - g (x)$
$f (x) g (x)$
$\frac{f ( x )}{g ( x )}$ (단, $g (a) \neq = 0$ )

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최대·최소 정리

33쪽

함수 $f (x)$ 가 닫힌구간 $[a, b]$ 에서 연속이면 함수 $f (x)$ 는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다.

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사잇값 정리

35쪽

함수 $f (x)$ 가 닫힌구간 $[a, b]$ 에서 연속이고 $f (a) \neq = f (b)$ 일 때, $f (a)$ 와 $f (b)$ 사이의 임의의 값 $k$ 에 대하여 $f (c) = k$ 인 $c$ 가 열린구간 $(a, b)$ 에 적어도 하나 존재한다.

참고함수 $f (x)$ 가 닫힌구간 $[a, b]$ 에서 연속이고 $f (a) f (b) < 0$ 이면 방정식 $f (x) = 0$ 은 열린구간 $(a, b)$ 에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.

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고등학교 › 미적분Ⅰ

Ⅱ미분

고등학교 미적분Ⅰ · 동아출판 · 9개

Ⅱ-1미분계수

평균변화율

47쪽

함수 $y = f (x)$ 에서 $x$ 의 값이 $a$ 에서 $b$ 까지 변할 때의 평균변화율은

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} = \frac{f ( a + Δ x ) - f ( a )}{Δ x}$ (단, $Δ x = b - a$ )

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미분계수

48쪽

함수 $y = f (x)$ 의 $x = a$ 에서의 미분계수는

$f^{'} (a) = Δ x \to 0 lim \frac{Δ y}{Δ x} = Δ x \to 0 lim \frac{f ( a + Δ x ) - f ( a )}{Δ x} = x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$

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미분계수의 기하적 의미

50쪽

함수 $y = f (x)$ 가 $x = a$ 에서 미분가능할 때, $x = a$ 에서의 미분계수 $f^{'} (a)$ 는 곡선 $y = f (x)$ 위의 점 $(a, f (a))$ 에서의 접선의 기울기와 같다.

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Ⅱ-2미분가능성과 연속성

미분가능성과 연속성의 관계

54쪽

함수 $f (x)$ 가 $x = a$ 에서 미분가능하면 $f (x)$ 는 $x = a$ 에서 연속이다.

참고역은 성립하지 않는다. 예: $f (x) = ∣ x ∣$ 는 $x = 0$ 에서 연속이지만 미분가능하지 않다.

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Ⅱ-3도함수 ⑴

도함수

58쪽

미분가능한 함수 $y = f (x)$ 의 도함수는

$f^{'} (x) = Δ x \to 0 lim \frac{f ( x + Δ x ) - f ( x )}{Δ x}$

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$x^{n}$ 과 상수함수의 도함수

59쪽

$f (x) = x^{n}$ ( $n \geq 2$ 인 정수)이면 $f^{'} (x) = n x^{n - 1}$
$f (x) = x$ 이면 $f^{'} (x) = 1$
$f (x) = c$ ( $c$ 는 상수)이면 $f^{'} (x) = 0$

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Ⅱ-4도함수 ⑵

함수의 실수배, 합, 차의 미분

61쪽

두 함수 $f (x)$ , $g (x)$ 가 미분가능할 때

${k f (x)}^{'} = k f^{'} (x)$ (단, $k$ 는 상수)
${f (x) + g (x)}^{'} = f^{'} (x) + g^{'} (x)$
${f (x) - g (x)}^{'} = f^{'} (x) - g^{'} (x)$

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함수의 곱의 미분

62쪽

두 함수 $f (x)$ , $g (x)$ 가 미분가능할 때

${f (x) g (x)}^{'} = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)$

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Ⅱ-5접선의 방정식

접선의 방정식

65쪽

함수 $f (x)$ 가 $x = a$ 에서 미분가능할 때, 곡선 $y = f (x)$ 위의 점 $(a, f (a))$ 에서의 접선의 방정식은

$y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)$

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고등학교 › 미적분Ⅰ

Ⅲ미분의 활용

고등학교 미적분Ⅰ · 동아출판 · 6개

Ⅲ-1평균값 정리

롤의 정리

78쪽

함수 $f (x)$ 가 닫힌구간 $[a, b]$ 에서 연속이고 열린구간 $(a, b)$ 에서 미분가능할 때, $f (a) = f (b)$ 이면

$f^{'} (c) = 0$ 인 $c$ 가 열린구간 $(a, b)$ 에 적어도 하나 존재한다.

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평균값 정리

80쪽

함수 $f (x)$ 가 닫힌구간 $[a, b]$ 에서 연속이고 열린구간 $(a, b)$ 에서 미분가능하면

$\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} = f^{'} (c)$ 인 $c$ 가 열린구간 $(a, b)$ 에 적어도 하나 존재한다.

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Ⅲ-2함수의 증가와 감소

함수의 증가와 감소

84쪽

함수 $f (x)$ 가 어떤 열린구간에서 미분가능할 때, 이 구간의 모든 $x$ 에 대하여

$f^{'} (x) > 0$ 이면 $f (x)$ 는 그 구간에서 증가한다.
$f^{'} (x) < 0$ 이면 $f (x)$ 는 그 구간에서 감소한다.

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Ⅲ-3함수의 극대와 극소

극값과 미분계수

88쪽

함수 $f (x)$ 가 $x = a$ 에서 극값을 갖고 $a$ 를 포함하는 어떤 열린구간에서 미분가능하면 $f^{'} (a) = 0$ 이다.

참고역은 성립하지 않는다. 예: $f (x) = x^{3}$ 에서 $f^{'} (0) = 0$ 이지만 $x = 0$ 에서 극값을 갖지 않는다.

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함수의 극대와 극소의 판정

89쪽

미분가능한 함수 $f (x)$ 에 대하여 $f^{'} (a) = 0$ 이고 $x = a$ 의 좌우에서

$f^{'} (x)$ 의 부호가 양에서 음으로 바뀌면 $f (x)$ 는 $x = a$ 에서 극대이다.
$f^{'} (x)$ 의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 $f (x)$ 는 $x = a$ 에서 극소이다.

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Ⅲ-6속도와 가속도

속도와 가속도

104쪽

수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 $t$ 에서의 위치 $x$ 가 $x = f (t)$ 일 때, 시각 $t$ 에서의 점 P의 속도 $v (t)$ 와 가속도 $a (t)$ 는

$v (t) = \frac{d x}{d t} = f^{'} (t)$ , $a (t) = \frac{d v}{d t} = v^{'} (t)$

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고등학교 › 미적분Ⅰ

Ⅳ적분

고등학교 미적분Ⅰ · 동아출판 · 11개

Ⅳ-1부정적분

부정적분

115쪽

$F^{'} (x) = f (x)$ 일 때, $\int f (x) d x = F (x) + C$ (단, $C$ 는 적분상수)

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Ⅳ-2부정적분의 계산

$x^{n}$ 과 1의 부정적분

118쪽

$\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$ ( $n$ 은 양의 정수, $C$ 는 적분상수)
$\int 1 d x = x + C$ (단, $C$ 는 적분상수)

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함수의 실수배, 합, 차의 부정적분

118쪽

두 함수 $f (x)$ , $g (x)$ 의 부정적분이 존재할 때

$\int k f (x) d x = k \int f (x) d x$ (단, $k$ 는 0이 아닌 상수)
$\int {f (x) + g (x)} d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x$
$\int {f (x) - g (x)} d x = \int f (x) d x - \int g (x) d x$

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Ⅳ-3정적분

정적분의 정의 보충

123쪽

$\int_{a}^{a} f (x) d x = 0$
$\int_{a}^{b} f (x) d x = - \int_{b}^{a} f (x) d x$

정적분과 미분의 관계

124쪽

함수 $f (t)$ 가 닫힌구간 $[a, b]$ 에서 연속일 때

$\frac{d}{d x} \int_{a}^{x} f (t) d t = f (x)$ (단, $a < x < b$ )

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미적분의 기본 정리

126쪽

함수 $f (x)$ 가 닫힌구간 $[a, b]$ 에서 연속이고 $F^{'} (x) = f (x)$ 일 때

$\int_{a}^{b} f (x) d x = [F (x)]_{a}^{b} = F (b) - F (a)$

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Ⅳ-4정적분의 성질

함수의 실수배, 합, 차의 정적분

131쪽

두 함수 $f (x)$ , $g (x)$ 가 닫힌구간 $[a, b]$ 에서 연속일 때

$\int_{a}^{b} k f (x) d x = k \int_{a}^{b} f (x) d x$ (단, $k$ 는 상수)
$\int_{a}^{b} {f (x) + g (x)} d x = \int_{a}^{b} f (x) d x + \int_{a}^{b} g (x) d x$
$\int_{a}^{b} {f (x) - g (x)} d x = \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} g (x) d x$

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나누어진 구간에서의 정적분

132쪽

임의의 세 실수 $a$ , $b$ , $c$ 를 포함하는 구간에서 함수 $f (x)$ 가 연속일 때

$\int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{b} f (x) d x$

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Ⅳ-5넓이

곡선과 x축 사이의 넓이

137쪽

함수 $f (x)$ 가 닫힌구간 $[a, b]$ 에서 연속일 때, 곡선 $y = f (x)$ 와 $x$ 축 및 두 직선 $x = a$ , $x = b$ 로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$ 는

$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x$

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두 곡선 사이의 넓이

138쪽

두 함수 $f (x)$ , $g (x)$ 가 닫힌구간 $[a, b]$ 에서 연속일 때, 두 곡선 $y = f (x)$ , $y = g (x)$ 와 두 직선 $x = a$ , $x = b$ 로 둘러싸인 도형의 넓이 $S$ 는

$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x$

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Ⅳ-6속도와 거리

수직선 위를 움직이는 점의 위치와 움직인 거리

143쪽

수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 $t$ 에서의 속도를 $v (t)$ , 시각 $t_{0}$ 에서의 점 P의 위치를 $x_{0}$ 이라고 할 때

시각 $t$ 에서의 점 P의 위치 $f (t)$ 는 $f (t) = x_{0} + \int_{t_{0}}^{t} v (s) d s$
시각 $t = a$ 에서 $t = b$ 까지 점 P의 위치의 변화량은 $\int_{a}^{b} v (t) d t$
시각 $t = a$ 에서 $t = b$ 까지 점 P가 움직인 거리 $s$ 는 $s = \int_{a}^{b} ∣ v (t) ∣ d t$

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고등학교 › 확률과 통계

Ⅰ경우의 수

고등학교 확률과 통계 · 동아출판 · 5개

Ⅰ-1중복순열

중복순열의 수

11쪽

서로 다른 $n$ 개에서 $r$ 개를 택하는 중복순열의 수는

$_{n} Π_{r} = n^{r}$

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Ⅰ-2같은 것이 있는 순열

같은 것이 있는 순열의 수

16쪽

$n$ 개 중에서 같은 것이 각각 $p$ 개, $q$ 개, …, $r$ 개씩 있을 때, $n$ 개를 모두 일렬로 배열하는 순열의 수는

$\frac{n !}{p ! \times q ! \times \dots \times r !}$ (단, $p + q + \dots + r = n$ )

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Ⅰ-3중복조합

중복조합의 수

20쪽

서로 다른 $n$ 개에서 $r$ 개를 택하는 중복조합의 수는

$_{n} H_{r} =_{n + r - 1} C_{r}$

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Ⅰ-4이항정리

이항정리

25쪽

$n$ 이 자연수일 때

$(a + b)^{n} =_{n} C_{0} a^{n} +_{n} C_{1} a^{n - 1} b + \dots +_{n} C_{r} a^{n - r} b^{r} + \dots +_{n} C_{n - 1} a b^{n - 1} +_{n} C_{n} b^{n}$

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이항계수의 성질

28쪽

$_{n - 1} C_{r - 1} +_{n - 1} C_{r} =_{n} C_{r}$ (단, $1 \leq r < n$ )
$_{n} C_{0} +_{n} C_{1} +_{n} C_{2} + \dots +_{n} C_{n} = 2^{n}$
$_{n} C_{0} -_{n} C_{1} +_{n} C_{2} - \dots + (- 1)^{n}_{n} C_{n} = 0$

고등학교 › 확률과 통계

Ⅱ확률

고등학교 확률과 통계 · 동아출판 · 8개

Ⅱ-1확률의 개념 및 성질

수학적 확률

40쪽

표본공간 $S$ 의 각 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같을 때, 사건 $A$ 가 일어날 확률은

$P (A) = \frac{n ( A )}{n ( S )}$

확률의 기본 성질

43쪽

표본공간이 $S$ 인 어떤 시행에서

임의의 사건 $A$ 에 대하여 $0 \leq P (A) \leq 1$
반드시 일어나는 사건 $S$ 에 대하여 $P (S) = 1$
절대로 일어나지 않는 사건 $\emptyset$ 에 대하여 $P (\emptyset) = 0$

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Ⅱ-2확률의 덧셈정리

확률의 덧셈정리

46쪽

표본공간 $S$ 의 두 사건 $A$ , $B$ 에 대하여

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$
두 사건 $A$ 와 $B$ 가 서로 배반사건이면 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$

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Ⅱ-3여사건의 확률

여사건의 확률

49쪽

사건 $A$ 의 여사건 $A^{C}$ 의 확률은

$P (A^{C}) = 1 - P (A)$

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Ⅱ-4조건부확률

조건부확률

53쪽

사건 $A$ 가 일어났을 때의 사건 $B$ 의 조건부확률은

$P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ (단, $P (A) > 0$ )

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Ⅱ-5확률의 곱셈정리

확률의 곱셈정리

56쪽

$P (A) > 0$ , $P (B) > 0$ 일 때, 사건 $A \cap B$ 가 일어날 확률은

$P (A \cap B) = P (A) P (B ∣ A) = P (B) P (A ∣ B)$

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Ⅱ-6사건의 독립과 종속

사건의 독립

61쪽

두 사건 $A$ , $B$ 가 서로 독립이기 위한 필요충분조건은

$P (A \cap B) = P (A) P (B)$ (단, $P (A) > 0$ , $P (B) > 0$ )

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독립시행의 확률

63쪽

어떤 시행에서 사건 $A$ 가 일어날 확률이 $p$ 일 때, 이 시행을 $n$ 회 반복하는 독립시행에서 사건 $A$ 가 $r$ 회 일어날 확률은

$_{n} C_{r} p^{r} (1 - p)^{n - r}$ (단, $r = 0, 1, 2, \dots, n$ )

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고등학교 › 확률과 통계

Ⅲ확률분포

고등학교 확률과 통계 · 동아출판 · 11개

Ⅲ-1확률변수와 확률분포

확률질량함수의 성질

75쪽

이산확률변수 $X$ 의 확률질량함수 $P (X = x_{i}) = p_{i} (i = 1, 2, 3, \dots, n)$ 에 대하여

$0 \leq p_{i} \leq 1$
$p_{1} + p_{2} + p_{3} + \dots + p_{n} = 1$

참고 $P (x_{i} \leq X \leq x_{j}) = p_{i} + p_{i + 1} + \dots + p_{j}$ (단, $j = i, i + 1, \dots, n$ )

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확률밀도함수의 성질

77쪽

$α \leq X \leq β$ 에서 정의된 연속확률변수 $X$ 의 확률밀도함수 $f (x)$ 는

$f (x) \geq 0$
함수 $y = f (x)$ 의 그래프와 $x$ 축 및 두 직선 $x = α$ , $x = β$ 로 둘러싸인 부분의 넓이는 1이다.
$P (a \leq X \leq b)$ 는 함수 $y = f (x)$ 의 그래프와 $x$ 축 및 두 직선 $x = a$ , $x = b$ 로 둘러싸인 부분의 넓이와 같다. (단, $α \leq a \leq b \leq β$ )

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Ⅲ-2이산확률변수의 기댓값과 표준편차

이산확률변수 X의 기댓값(평균)

82쪽

이산확률변수 $X$ 의 확률질량함수가 $P (X = x_{i}) = p_{i} (i = 1, 2, 3, \dots, n)$ 일 때

$E (X) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + x_{3} p_{3} + \dots + x_{n} p_{n} = m$

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이산확률변수 X의 분산, 표준편차

83쪽

이산확률변수 $X$ 의 기댓값 $E (X)$ 를 $m$ 이라고 할 때

분산 $V (X) = E ((X - m)^{2}) = (x_{1} - m)^{2} p_{1} + (x_{2} - m)^{2} p_{2} + \dots + (x_{n} - m)^{2} p_{n}$
표준편차 $σ (X) = V (X)$

참고 $V (X) = E (X^{2}) - {E (X)}^{2}$

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이산확률변수 aX+b의 평균, 분산, 표준편차

85쪽

이산확률변수 $X$ 와 두 상수 $a (a \neq = 0)$ , $b$ 에 대하여

평균: $E (a X + b) = a E (X) + b$
분산: $V (a X + b) = a^{2} V (X)$
표준편차: $σ (a X + b) = ∣ a ∣ σ (X)$

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Ⅲ-3이항분포의 뜻과 성질

이항분포의 확률질량함수

88쪽

확률변수 $X$ 가 이항분포 $B (n, p)$ 를 따를 때 (단, $q = 1 - p$ )

$P (X = x) =_{n} C_{x} p^{x} q^{n - x}$ ( $x = 0, 1, 2, \dots, n$ )

이항분포의 평균, 분산, 표준편차

90쪽

확률변수 $X$ 가 이항분포 $B (n, p)$ 를 따를 때 (단, $q = 1 - p$ )

평균: $E (X) = n p$
분산: $V (X) = n pq$
표준편차: $σ (X) = n pq$

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큰수의 법칙

93쪽

어떤 시행에서 사건 $A$ 가 일어날 수학적 확률이 $p$ 일 때, $n$ 회의 독립시행에서 사건 $A$ 가 일어나는 횟수를 $X$ 라고 하면, 아무리 작은 임의의 양수 $h$ 를 택하여도 $n$ 이 커짐에 따라 확률 $P (\frac{X}{n} - p < h)$ 는 1에 가까워진다.

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Ⅲ-4정규분포의 뜻과 성질

정규분포 곡선의 성질

96쪽

정규분포 $N (m, σ^{2})$ 을 따르는 확률변수 $X$ 의 확률밀도함수의 그래프는

직선 $x = m$ 에 대하여 대칭인 종 모양의 곡선이고, $x$ 축을 점근선으로 한다.
곡선과 $x$ 축 사이의 넓이는 1이다.
$σ$ 가 일정할 때 $m$ 이 변하면 대칭축의 위치는 바뀌지만 곡선의 모양은 같다.
$m$ 이 일정할 때 $σ$ 가 클수록 곡선의 가운데 부분의 높이는 낮아지고 양쪽으로 넓게 퍼진다.

정규분포와 표준정규분포의 관계

99쪽

확률변수 $X$ 가 정규분포 $N (m, σ^{2})$ 을 따를 때

확률변수 $Z = \frac{X - m}{σ}$ 은 표준정규분포 $N (0, 1)$ 을 따른다.
$P (a \leq X \leq b) = P (\frac{a - m}{σ} \leq Z \leq \frac{b - m}{σ})$

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Ⅲ-5이항분포와 정규분포의 관계

이항분포와 정규분포 사이의 관계

103쪽

확률변수 $X$ 가 이항분포 $B (n, p)$ 를 따르고 $n$ 이 충분히 크면 $X$ 는 근사적으로 정규분포 $N (n p, n pq)$ 를 따른다. (단, $q = 1 - p$ )

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고등학교 › 확률과 통계

Ⅳ통계적 추정

고등학교 확률과 통계 · 동아출판 · 6개

Ⅳ-2모평균과 표본평균

표본평균의 평균, 분산, 표준편차

119쪽

모평균이 $m$ 이고 모표준편차가 $σ$ 인 모집단에서 크기가 $n$ 인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 $\overline{X}$ 에 대하여

$E (\overline{X}) = m$ , $V (\overline{X}) = \frac{σ ^{2}}{n}$ , $σ (\overline{X}) = \frac{σ}{n}$

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표본평균 X̄의 확률분포

120쪽

모평균이 $m$ 이고 모표준편차가 $σ$ 인 모집단에서 크기가 $n$ 인 표본을 임의추출할 때, 표본평균 $\overline{X}$ 에 대하여

모집단이 정규분포 $N (m, σ^{2})$ 을 따르면 $\overline{X}$ 는 정규분포 $N (m, \frac{σ ^{2}}{n})$ 을 따른다.
모집단의 분포가 정규분포가 아니더라도 $n$ 이 충분히 크면 $\overline{X}$ 는 근사적으로 정규분포 $N (m, \frac{σ ^{2}}{n})$ 을 따른다.

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Ⅳ-3모평균의 추정

모평균의 신뢰구간

126쪽

정규분포 $N (m, σ^{2})$ 을 따르는 모집단에서 임의추출한 크기가 $n$ 인 표본의 표본평균 $\overline{X}$ 의 값을 $\overline{x}$ 라고 하면, 모평균 $m$ 에 대한 신뢰구간은

신뢰도 95 %의 신뢰구간: $\overline{x} - 1.96 \frac{σ}{n} \leq m \leq \overline{x} + 1.96 \frac{σ}{n}$
신뢰도 99 %의 신뢰구간: $\overline{x} - 2.58 \frac{σ}{n} \leq m \leq \overline{x} + 2.58 \frac{σ}{n}$

참고모표준편차 $σ$ 를 모를 때 $n$ 이 충분히 크면 $σ$ 대신 표본표준편차 $s$ 를 사용할 수 있다.

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Ⅳ-4모비율의 추정

표본비율

129쪽

크기가 $n$ 인 표본에서 어떤 성질을 가진 것이 추출된 횟수를 확률변수 $X$ 라고 할 때, 표본비율 $\overset{p}{^}$ 은

$\overset{p}{^} = \frac{X}{n}$

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표본비율 p̂의 분포

131쪽

표본의 크기 $n$ 이 충분히 클 때, 표본비율 $\overset{p}{^}$ 은 근사적으로 정규분포 $N (p, \frac{pq}{n})$ 를 따르고, 확률변수 $Z = \frac{p ^ - p}{\frac{pq}{n}}$ 는 근사적으로 표준정규분포 $N (0, 1)$ 을 따른다. (단, $q = 1 - p$ )

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모비율의 신뢰구간

135쪽

모집단에서 크기가 $n$ 인 표본으로부터 구한 표본비율을 $\overset{p}{^}$ 이라고 하면, $n$ 이 충분히 클 때 모비율 $p$ 에 대한 신뢰구간은 (단, $\overset{q}{^} = 1 - \overset{p}{^}$ )

신뢰도 95 %의 신뢰구간: $\overset{p}{^} - 1.96 \frac{p ^ q ^}{n} \leq p \leq \overset{p}{^} + 1.96 \frac{p ^ q ^}{n}$
신뢰도 99 %의 신뢰구간: $\overset{p}{^} - 2.58 \frac{p ^ q ^}{n} \leq p \leq \overset{p}{^} + 2.58 \frac{p ^ q ^}{n}$

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고등학교 › 미적분Ⅱ

Ⅰ수열의 극한

고등학교 미적분Ⅱ · 동아출판 · 7개

Ⅰ-1수열의 극한

수열 {an}의 수렴과 발산

14쪽

수렴하는 경우: $n \to \infty lim a_{n} = α$ (단, $α$ 는 실수)
발산하는 경우: $n \to \infty lim a_{n} = \infty$ (양의 무한대로 발산), $n \to \infty lim a_{n} = - \infty$ (음의 무한대로 발산), 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지 않는 경우

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수열의 극한에 대한 기본 성질

16쪽

두 수열 ${a_{n}}$ , ${b_{n}}$ 이 각각 수렴하고 $n \to \infty lim a_{n} = α$ , $n \to \infty lim b_{n} = β$ ( $α$ , $β$ 는 실수)일 때

$n \to \infty lim c a_{n} = c α$ (단, $c$ 는 상수)
$n \to \infty lim (a_{n} + b_{n}) = α + β$
$n \to \infty lim (a_{n} - b_{n}) = α - β$
$n \to \infty lim a_{n} b_{n} = α β$
$n \to \infty lim \frac{a _{n}}{b _{n}} = \frac{α}{β}$ (단, $b_{n} \neq = 0$ , $β \neq = 0$ )

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Ⅰ-2수열의 극한값의 계산

수열의 극한의 대소 관계

19쪽

모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_{n} \leq b_{n}$ 이고 두 수열 ${a_{n}}$ , ${b_{n}}$ 이 각각 수렴하면 $n \to \infty lim a_{n} \leq n \to \infty lim b_{n}$
세 수열 ${a_{n}}$ , ${b_{n}}$ , ${c_{n}}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n}$ 이고 $n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim b_{n} = α$ ( $α$ 는 실수)이면 $n \to \infty lim c_{n} = α$

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Ⅰ-3등비수열의 극한

등비수열 {rⁿ}의 수렴과 발산

23쪽

$r > 1$ 일 때, $n \to \infty lim r^{n} = \infty$ (발산)
$r = 1$ 일 때, $n \to \infty lim r^{n} = 1$ (수렴)
$- 1 < r < 1$ 일 때, $n \to \infty lim r^{n} = 0$ (수렴)
$r \leq - 1$ 일 때, 수열 ${r^{n}}$ 은 발산한다. (발산)

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Ⅰ-4급수

급수의 수렴, 발산과 수열의 극한값 사이의 관계

28쪽

급수 $n = 1 \sum \infty a_{n}$ 이 수렴하면 $n \to \infty lim a_{n} = 0$ 이다.
$n \to \infty lim a_{n} \neq = 0$ 이면 급수 $n = 1 \sum \infty a_{n}$ 은 발산한다.

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급수의 성질

29쪽

두 급수 $n = 1 \sum \infty a_{n}$ , $n = 1 \sum \infty b_{n}$ 이 각각 수렴하면

$n = 1 \sum \infty c a_{n} = c n = 1 \sum \infty a_{n}$ (단, $c$ 는 상수)
$n = 1 \sum \infty (a_{n} + b_{n}) = n = 1 \sum \infty a_{n} + n = 1 \sum \infty b_{n}$
$n = 1 \sum \infty (a_{n} - b_{n}) = n = 1 \sum \infty a_{n} - n = 1 \sum \infty b_{n}$

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Ⅰ-5등비급수

등비급수의 수렴과 발산

32쪽

등비급수 $n = 1 \sum \infty a r^{n - 1} = a + a r + a r^{2} + \dots + a r^{n - 1} + \dots (a \neq = 0)$ 은

$∣ r ∣ < 1$ 일 때, 수렴하고 그 합은 $\frac{a}{1 - r}$ 이다.
$∣ r ∣ \geq 1$ 일 때, 발산한다.

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고등학교 › 미적분Ⅱ

Ⅱ미분법

고등학교 미적분Ⅱ · 동아출판 · 14개

Ⅱ-1지수함수와 로그함수의 극한

무리수 e

48쪽

$x \to 0 lim (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$
$x \to \infty lim (1 + \frac{1}{x})^{x} = e$

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지수함수와 로그함수의 극한

50쪽

$x \to 0 lim \frac{ln ( 1 + x )}{x} = 1$
$x \to 0 lim \frac{e ^{x} - 1}{x} = 1$
$x \to 0 lim \frac{a ^{x} - 1}{x} = ln a$ (단, $a > 0$ , $a \neq = 1$ )

Ⅱ-2지수함수와 로그함수의 미분

지수함수의 도함수

54쪽

$y = e^{x}$ 이면 $y^{'} = e^{x}$
$y = a^{x}$ 이면 $y^{'} = a^{x} ln a$ (단, $a > 0$ , $a \neq = 1$ )

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로그함수의 도함수

55쪽

$y = ln x$ 이면 $y^{'} = \frac{1}{x}$
$y = lo g_{a} x$ 이면 $y^{'} = \frac{1}{x ln a}$ (단, $a > 0$ , $a \neq = 1$ )

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Ⅱ-3삼각함수의 덧셈정리

삼각함수 csc, sec, cot

59쪽

동경 OP가 나타내는 각의 크기를 $θ$ 라고 할 때

$csc θ = \frac{r}{y} (y \neq = 0)$
$sec θ = \frac{r}{x} (x \neq = 0)$
$cot θ = \frac{x}{y} (y \neq = 0)$

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삼각함수 사이의 관계

60쪽

$tan^{2} θ + 1 = sec^{2} θ$
$1 + cot^{2} θ = csc^{2} θ$

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삼각함수의 덧셈정리

62쪽

$sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β$ , $sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β$
$cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β$ , $cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β$
$tan (α + β) = \frac{tan α + tan β}{1 - tan α tan β}$ , $tan (α - β) = \frac{tan α - tan β}{1 + tan α tan β}$

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Ⅱ-4삼각함수의 극한

삼각함수의 극한

67쪽

$x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$

참고 $x \to 0 lim \frac{tan x}{x} = 1$ , $x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x} = 0$ 도 이를 이용하여 구할 수 있다.

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Ⅱ-5사인함수와 코사인함수의 미분

사인함수와 코사인함수의 도함수

72쪽

$y = sin x$ 이면 $y^{'} = cos x$
$y = cos x$ 이면 $y^{'} = - sin x$

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Ⅱ-6함수의 몫의 미분법

함수의 몫의 미분법

75쪽

두 함수 $f (x)$ , $g (x) (g (x) \neq = 0)$ 가 미분가능할 때

$y = \frac{1}{g ( x )}$ 이면 $y^{'} = - \frac{g ^{'} ( x )}{{ g ( x ) } ^{2}}$
$y = \frac{f ( x )}{g ( x )}$ 이면 $y^{'} = \frac{f ^{'} ( x ) g ( x ) - f ( x ) g ^{'} ( x )}{{ g ( x ) } ^{2}}$

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함수 y=xⁿ (n은 정수)의 도함수

76쪽

$n$ 이 정수일 때, $y = x^{n}$ 이면 $y^{'} = n x^{n - 1}$

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삼각함수의 도함수

77쪽

$y = tan x$ 이면 $y^{'} = sec^{2} x$
$y = sec x$ 이면 $y^{'} = sec x tan x$
$y = csc x$ 이면 $y^{'} = - csc x cot x$
$y = cot x$ 이면 $y^{'} = - csc^{2} x$

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Ⅱ-7합성함수의 미분법

합성함수의 미분법

80쪽

두 함수 $y = f (u)$ , $u = g (x)$ 가 미분가능할 때, 합성함수 $y = f (g (x))$ 의 도함수는

$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \times \frac{d u}{d x}$ 또는 ${f (g (x))}^{'} = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)$

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함수 y=ln|x|와 y=logₐ|x|의 도함수

81쪽

$y = ln ∣ x ∣$ 이면 $y^{'} = \frac{1}{x}$
$y = lo g_{a} ∣ x ∣$ 이면 $y^{'} = \frac{1}{x ln a}$ (단, $a > 0$ , $a \neq = 1$ )

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고등학교 › 미적분Ⅱ

Ⅲ도함수의 활용

고등학교 미적분Ⅱ · 동아출판 · 8개

Ⅲ-1음함수와 역함수의 미분법

음함수의 미분법

93쪽

방정식 $f (x, y) = 0$ 꼴로 주어질 때에는 $y$ 를 $x$ 의 함수로 보고 각 항을 $x$ 에 대하여 미분하여 $\frac{d y}{d x}$ 를 구한다.

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함수 y=x^α (x>0, α는 실수)의 도함수

94쪽

$α$ 가 실수일 때, $y = x^{α} (x > 0)$ 이면 $y^{'} = α x^{α - 1}$

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역함수의 미분법

95쪽

미분가능한 함수 $f (x)$ 의 역함수 $f^{- 1} (x)$ 가 존재하고 미분가능할 때, $y = f^{- 1} (x)$ 의 도함수는

$(f^{- 1})^{'} (x) = \frac{1}{f ^{'} ( y )}$ 또는 $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{d x}{d y}}$ (단, $f^{'} (y) \neq = 0$ , $\frac{d x}{d y} \neq = 0$ )

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Ⅲ-2매개변수로 나타낸 함수의 미분법

매개변수로 나타낸 함수의 미분법

100쪽

매개변수로 나타낸 함수 $x = f (t)$ , $y = g (t)$ 가 $t$ 에 대하여 미분가능하고 $f^{'} (t) \neq = 0$ 이면

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}} = \frac{g ^{'} ( t )}{f ^{'} ( t )}$

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Ⅲ-4함수의 그래프

이계도함수를 이용한 함수의 극대와 극소의 판정

109쪽

이계도함수를 갖는 함수 $f (x)$ 에 대하여 $f^{'} (a) = 0$ 일 때

$f^{''} (a) < 0$ 이면 $f (x)$ 는 $x = a$ 에서 극대이다.
$f^{''} (a) > 0$ 이면 $f (x)$ 는 $x = a$ 에서 극소이다.

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곡선의 오목과 볼록

111쪽

이계도함수를 갖는 함수 $f (x)$ 가 어떤 구간에서

$f^{''} (x) > 0$ 이면 곡선 $y = f (x)$ 는 이 구간에서 아래로 볼록(또는 위로 오목)하다.
$f^{''} (x) < 0$ 이면 곡선 $y = f (x)$ 는 이 구간에서 위로 볼록(또는 아래로 오목)하다.

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변곡점의 판정

112쪽

이계도함수를 갖는 함수 $f (x)$ 에서 $f^{''} (a) = 0$ 이고 $x = a$ 의 좌우에서 $f^{''} (x)$ 의 부호가 바뀌면 점 $(a, f (a))$ 는 곡선 $y = f (x)$ 의 변곡점이다.

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Ⅲ-6속도와 가속도

평면 위의 운동에서의 속도와 가속도

121쪽

좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 $t$ 에서의 위치 $(x, y)$ 가 $x = f (t)$ , $y = g (t)$ 일 때

속도: $(v_{x}, v_{y})$ 또는 $(\frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t})$ 또는 $(f^{'} (t), g^{'} (t))$
속력: $v_{x}^{2} + v_{y}^{2} = (\frac{d x}{d t})^{2} + (\frac{d y}{d t})^{2} = {f^{'} (t)}^{2} + {g^{'} (t)}^{2}$
가속도: $(a_{x}, a_{y})$ 또는 $(\frac{d ^{2} x}{d t ^{2}}, \frac{d ^{2} y}{d t ^{2}})$ 또는 $(f^{''} (t), g^{''} (t))$
가속도의 크기: $a_{x}^{2} + a_{y}^{2} = {f^{''} (t)}^{2} + {g^{''} (t)}^{2}$

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고등학교 › 미적분Ⅱ

Ⅳ적분법

고등학교 미적분Ⅱ · 동아출판 · 12개

Ⅳ-1여러 가지 함수의 부정적분과 정적분

함수 y=xⁿ (n은 실수)의 부정적분

132쪽

$n \neq = - 1$ 일 때, $\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$
$n = - 1$ 일 때, $\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C$

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지수함수의 부정적분

134쪽

$\int e^{x} d x = e^{x} + C$
$\int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + C$ (단, $a > 0$ , $a \neq = 1$ )

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삼각함수의 부정적분

136쪽

$\int sin x d x = - cos x + C$
$\int cos x d x = sin x + C$
$\int sec^{2} x d x = tan x + C$
$\int csc^{2} x d x = - cot x + C$

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Ⅳ-2치환적분법

치환적분법

141쪽

미분가능한 함수 $g (t)$ 에 대하여 $x = g (t)$ 로 놓으면

$\int f (x) d x = \int f (g (t)) g^{'} (t) d t$

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함수 f′(x)/f(x)의 부정적분

143쪽

$\int \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )} d x = ln ∣ f (x) ∣ + C$

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정적분의 치환적분법

145쪽

미분가능한 함수 $x = g (t)$ 에 대하여 $a = g (α)$ , $b = g (β)$ 일 때, 함수 $f (x)$ 가 닫힌구간 $[a, b]$ 에서 연속이고 합성함수 $f (g (t))$ 와 도함수 $g^{'} (t)$ 가 $α$ 와 $β$ 를 포함하는 구간에서 연속이면

$\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{α}^{β} f (g (t)) g^{'} (t) d t$

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Ⅳ-3부분적분법

부분적분법

148쪽

두 함수 $f (x)$ , $g (x)$ 가 미분가능할 때

$\int f (x) g^{'} (x) d x = f (x) g (x) - \int f^{'} (x) g (x) d x$

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정적분의 부분적분법

151쪽

두 함수 $f (x)$ , $g (x)$ 가 미분가능하고, $f^{'} (x)$ , $g^{'} (x)$ 가 닫힌구간 $[a, b]$ 에서 연속일 때

$\int_{a}^{b} f (x) g^{'} (x) d x = [f (x) g (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f^{'} (x) g (x) d x$

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Ⅳ-4정적분과 급수의 합

정적분과 급수의 합 사이의 관계

155쪽

함수 $f (x)$ 가 닫힌구간 $[a, b]$ 에서 연속일 때

$\int_{a}^{b} f (x) d x = n \to \infty lim k = 1 \sum n f (x_{k}) Δ x$ (단, $Δ x = \frac{b - a}{n}$ , $x_{k} = a + k Δ x$ )

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Ⅳ-6부피

입체도형의 부피

164쪽

닫힌구간 $[a, b]$ 의 임의의 점 $x$ 에서 $x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 $S (x)$ 인 입체도형의 부피 $V$ 는

$V = \int_{a}^{b} S (x) d x$ (단, $S (x)$ 는 닫힌구간 $[a, b]$ 에서 연속)

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Ⅳ-7속도와 거리

좌표평면 위에서 점이 움직인 거리

168쪽

좌표평면 위를 움직이는 점 P의 시각 $t$ 에서의 위치 $(x, y)$ 가 $x = f (t)$ , $y = g (t)$ 로 나타내어질 때, 시각 $t = a$ 에서 $t = b$ 까지 점 P가 움직인 거리 $s$ 는

$s = \int_{a}^{b} (\frac{d x}{d t})^{2} + (\frac{d y}{d t})^{2} d t = \int_{a}^{b} {f^{'} (t)}^{2} + {g^{'} (t)}^{2} d t$

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곡선의 길이

170쪽

곡선 $x = f (t)$ , $y = g (t) (a \leq t \leq b)$ 의 겹치는 부분이 없을 때, 길이 $l$ 은 $l = \int_{a}^{b} {f^{'} (t)}^{2} + {g^{'} (t)}^{2} d t$
곡선 $y = f (x) (a \leq x \leq b)$ 의 길이 $l$ 은 $l = \int_{a}^{b} 1 + {f^{'} (x)}^{2} d x$

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고등학교 › 기하

Ⅰ이차곡선

고등학교 기하 · 동아출판 · 10개

Ⅰ-1포물선

포물선의 방정식 ⑴

11쪽

초점이 $F (0, p)$ , 준선이 $y = - p$ 인 포물선의 방정식은

$x^{2} = 4 p y$ (단, $p \neq = 0$ )

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포물선의 방정식 ⑵

12쪽

초점이 $F (p, 0)$ , 준선이 $x = - p$ 인 포물선의 방정식은

$y^{2} = 4 p x$ (단, $p \neq = 0$ )

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Ⅰ-2타원

타원의 방정식 ⑴

16쪽

두 초점 $F (c, 0)$ , $F^{'} (- c, 0)$ 에서의 거리의 합이 $2 a (a > c > 0)$ 인 타원의 방정식은

$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ (단, $b^{2} = a^{2} - c^{2}$ )

참고장축의 길이는 $2 a$ , 단축의 길이는 $2 b$ 이다.

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타원의 방정식 ⑵

18쪽

두 초점 $F (0, c)$ , $F^{'} (0, - c)$ 에서의 거리의 합이 $2 b (b > c > 0)$ 인 타원의 방정식은

$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ (단, $a^{2} = b^{2} - c^{2}$ )

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Ⅰ-3쌍곡선

쌍곡선의 방정식 ⑴

22쪽

두 초점 $F (c, 0)$ , $F^{'} (- c, 0)$ 에서의 거리의 차가 $2 a (c > a > 0)$ 인 쌍곡선의 방정식은

$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ (단, $b^{2} = c^{2} - a^{2}$ )

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쌍곡선의 방정식 ⑵

24쪽

두 초점 $F (0, c)$ , $F^{'} (0, - c)$ 에서의 거리의 차가 $2 b (c > b > 0)$ 인 쌍곡선의 방정식은

$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = - 1$ (단, $a^{2} = c^{2} - b^{2}$ )

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쌍곡선의 점근선

26쪽

쌍곡선 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ , $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = - 1$ 의 점근선의 방정식은

$y = \frac{b}{a} x$ , $y = - \frac{b}{a} x$

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Ⅰ-4이차곡선의 평행이동

이차곡선의 평행이동

32쪽

이차곡선 $f (x, y) = 0$ 을 $x$ 축의 방향으로 $m$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $n$ 만큼 평행이동한 곡선의 방정식은 $f (x - m, y - n) = 0$ 이다.

참고예: 포물선 $(y - n)^{2} = 4 p (x - m)$ , 타원 $\frac{( x - m ) ^{2}}{a ^{2}} + \frac{( y - n ) ^{2}}{b ^{2}} = 1$

Ⅰ-5이차곡선의 접선의 방정식

기울기가 주어진 이차곡선의 접선의 방정식

37쪽

포물선 $y^{2} = 4 p x$ 에 접하고 기울기가 $m$ 인 접선의 방정식은 $y = m x + \frac{p}{m}$ (단, $m \neq = 0$ )
타원 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 에 접하고 기울기가 $m$ 인 접선의 방정식은 $y = m x \pm a^{2} m^{2} + b^{2}$
쌍곡선 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 에 접하고 기울기가 $m$ 인 접선의 방정식은 $y = m x \pm a^{2} m^{2} - b^{2}$ (단, $a^{2} m^{2} - b^{2} > 0$ )

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이차곡선 위의 한 점에서의 접선의 방정식

40쪽

포물선 $y^{2} = 4 p x$ 위의 점 $P (x_{1}, y_{1})$ 에서의 접선의 방정식은 $y_{1} y = 2 p (x + x_{1})$
타원 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 위의 점 $P (x_{1}, y_{1})$ 에서의 접선의 방정식은 $\frac{x _{1} x}{a ^{2}} + \frac{y _{1} y}{b ^{2}} = 1$
쌍곡선 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ 위의 점 $P (x_{1}, y_{1})$ 에서의 접선의 방정식은 $\frac{x _{1} x}{a ^{2}} - \frac{y _{1} y}{b ^{2}} = 1$

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고등학교 › 기하

Ⅱ공간도형과 공간좌표

고등학교 기하 · 동아출판 · 11개

Ⅱ-1직선과 평면의 위치 관계

평면의 결정 조건

52쪽

한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점
한 직선과 그 직선 위에 있지 않은 한 점
한 점에서 만나는 두 직선
평행한 두 직선

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두 직선의 위치 관계

53쪽

한 점에서 만난다.
평행하다.
꼬인 위치에 있다.

참고1, 2는 한 평면 위에 있고, 3은 한 평면 위에 있지 않다.

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직선과 평면의 위치 관계

54쪽

직선이 평면에 포함된다.
한 점에서 만난다.
평행하다.

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두 평면의 위치 관계

54쪽

만난다.
평행하다.

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Ⅱ-2삼수선 정리

삼수선 정리

61쪽

평면 $α$ 위에 있지 않은 한 점 P, 평면 $α$ 위의 한 점 O, 점 O를 지나지 않고 평면 $α$ 위에 있는 한 직선 $l$ , 직선 $l$ 위의 한 점 H에 대하여

$\overline{PO} ⊥ α$ , $\overline{O H} ⊥ l$ 이면 $\overline{P H} ⊥ l$
$\overline{PO} ⊥ α$ , $\overline{P H} ⊥ l$ 이면 $\overline{O H} ⊥ l$
$\overline{P H} ⊥ l$ , $\overline{O H} ⊥ l$ , $\overline{PO} ⊥ \overline{O H}$ 이면 $\overline{PO} ⊥ α$

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Ⅱ-3정사영

정사영의 길이

68쪽

선분 AB의 평면 $α$ 위로의 정사영을 선분 A′B′이라 하고, 직선 AB와 평면 $α$ 가 이루는 각의 크기를 $θ (0^{\circ} \leq θ \leq 9 0^{\circ})$ 라고 하면

$\overline{A^{'} B^{'}} = \overline{A B} cos θ$

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정사영의 넓이

69쪽

평면 $β$ 위의 도형의 넓이를 $S$ , 이 도형의 평면 $α$ 위로의 정사영의 넓이를 $S^{'}$ 이라 하고, 두 평면 $α$ , $β$ 가 이루는 각의 크기를 $θ (0^{\circ} \leq θ \leq 9 0^{\circ})$ 라고 하면

$S^{'} = S cos θ$

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Ⅱ-4공간좌표와 선분의 내분점

좌표공간에서 두 점 사이의 거리

76쪽

두 점 $P (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ , $Q (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ 사이의 거리는

$\overline{PQ} = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} + (z_{2} - z_{1})^{2}$

참고원점 O와 점 $P (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ 사이의 거리는 $\overline{OP} = x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + z_{1}^{2}$

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좌표공간에서 선분을 내분하는 점의 좌표

78쪽

두 점 $A (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ , $B (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ 에 대하여 선분 AB를 $m : n (m > 0, n > 0)$ 으로 내분하는 점 P의 좌표는

$(\frac{m x _{2} + n x _{1}}{m + n}, \frac{m y _{2} + n y _{1}}{m + n}, \frac{m z _{2} + n z _{1}}{m + n})$

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Ⅱ-5구의 방정식

구의 방정식

82쪽

중심이 점 $(a, b, c)$ 이고 반지름의 길이가 $r$ 인 구의 방정식은

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = r^{2}$

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방정식 $x^{2} + y^{2} + z^{2} + A x + B y + C z + D = 0$ 이 나타내는 도형

84쪽

$A^{2} + B^{2} + C^{2} - 4 D > 0$ 일 때, 이 방정식은

중심이 점 $(- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2}, - \frac{C}{2})$ 이고 반지름의 길이가 $\frac{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2} - 4 D}{2}$ 인 구를 나타낸다.

고등학교 › 기하

Ⅲ벡터

고등학교 기하 · 동아출판 · 13개

Ⅲ-1벡터의 뜻과 덧셈, 뺄셈

벡터의 덧셈에 대한 연산 법칙

98쪽

세 벡터 $a$ , $b$ , $c$ 에 대하여

$a + b = b + a$ (교환법칙)
$(a + b) + c = a + (b + c)$ (결합법칙)

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Ⅲ-2벡터의 실수배

벡터의 실수배

103쪽

실수 $k$ 와 벡터 $a$ 에 대하여

$a \neq = 0$ 일 때: $k > 0$ 이면 $k a$ 는 $a$ 와 방향이 같고 크기는 $k ∣ a ∣$ 인 벡터, $k < 0$ 이면 $k a$ 는 $a$ 와 방향이 반대이고 크기는 $∣ k ∣∣ a ∣$ 인 벡터, $k = 0$ 이면 $k a = 0$
$a = 0$ 일 때: $k a = 0$

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벡터의 실수배에 대한 연산 법칙

105쪽

두 실수 $k$ , $l$ 과 두 벡터 $a$ , $b$ 에 대하여

$k (l a) = (k l) a$ (결합법칙)
$(k + l) a = k a + l a$ , $k (a + b) = k a + k b$ (분배법칙)

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벡터의 평행

106쪽

영벡터가 아닌 두 벡터 $a$ , $b$ 에 대하여

$a / / b ⟺ b = k a$ (단, $k$ 는 0이 아닌 실수)

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Ⅲ-3위치벡터

위치벡터와 선분의 내분점

111쪽

두 점 A, B의 위치벡터를 각각 $a$ , $b$ 라고 할 때

$A B = b - a$
선분 AB를 $m : n (m > 0, n > 0)$ 으로 내분하는 점 P의 위치벡터 $p$ 는 $p = \frac{m b + n a}{m + n}$
선분 AB의 중점 M의 위치벡터 $m$ 은 $m = \frac{a + b}{2}$

참고세 점 A, B, C의 위치벡터가 $a$ , $b$ , $c$ 일 때 삼각형 ABC의 무게중심 G의 위치벡터는 $g = \frac{a + b + c}{3}$

Ⅲ-4벡터의 성분

벡터의 크기와 두 벡터가 서로 같을 조건

116쪽

두 평면벡터 $a = (a_{1}, a_{2})$ , $b = (b_{1}, b_{2})$ 에 대하여 $∣ a ∣ = a_{1}^{2} + a_{2}^{2}$ , $a = b ⟺ a_{1} = b_{1}, a_{2} = b_{2}$
두 공간벡터 $a = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ , $b = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ 에 대하여 $∣ a ∣ = a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}$ , $a = b ⟺ a_{1} = b_{1}, a_{2} = b_{2}, a_{3} = b_{3}$

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벡터의 성분에 의한 연산

118쪽

두 평면벡터 $a = (a_{1}, a_{2})$ , $b = (b_{1}, b_{2})$ 에 대하여 $a \pm b = (a_{1} \pm b_{1}, a_{2} \pm b_{2})$ , $k a = (k a_{1}, k a_{2})$ (단, $k$ 는 실수)
두 공간벡터 $a = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ , $b = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ 에 대하여 $a \pm b = (a_{1} \pm b_{1}, a_{2} \pm b_{2}, a_{3} \pm b_{3})$ , $k a = (k a_{1}, k a_{2}, k a_{3})$ (단, $k$ 는 실수)

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벡터의 성분과 크기

119쪽

좌표평면 위의 두 점 $A (a_{1}, a_{2})$ , $B (b_{1}, b_{2})$ 에 대하여 $A B = (b_{1} - a_{1}, b_{2} - a_{2})$ , $∣ A B ∣ = (b_{1} - a_{1})^{2} + (b_{2} - a_{2})^{2}$
좌표공간의 두 점 $A (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ , $B (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ 에 대하여 $A B = (b_{1} - a_{1}, b_{2} - a_{2}, b_{3} - a_{3})$ , $∣ A B ∣ = (b_{1} - a_{1})^{2} + (b_{2} - a_{2})^{2} + (b_{3} - a_{3})^{2}$

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Ⅲ-5벡터의 내적

벡터의 내적

123쪽

두 벡터 $a$ , $b$ 가 이루는 각의 크기를 $θ$ 라고 하면

$0^{\circ} \leq θ \leq 9 0^{\circ}$ 일 때, $a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ$
$9 0^{\circ} < θ \leq 18 0^{\circ}$ 일 때, $a \cdot b = - ∣ a ∣∣ b ∣ cos (18 0^{\circ} - θ)$

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벡터의 내적과 성분

124쪽

두 평면벡터 $a = (a_{1}, a_{2})$ , $b = (b_{1}, b_{2})$ 에 대하여 $a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$
두 공간벡터 $a = (a_{1}, a_{2}, a_{3})$ , $b = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ 에 대하여 $a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$

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벡터의 내적의 성질

125쪽

세 벡터 $a$ , $b$ , $c$ 에 대하여

$a \cdot b = b \cdot a$ (교환법칙)
$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$ , $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$ (분배법칙)
$(k a) \cdot b = a \cdot (k b) = k (a \cdot b)$ (단, $k$ 는 실수)

참고 $a \cdot a = ∣ a ∣^{2}$

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두 벡터가 이루는 각의 크기

127쪽

영벡터가 아닌 두 벡터 $a$ , $b$ 가 이루는 각의 크기를 $θ (0^{\circ} \leq θ \leq 18 0^{\circ})$ 라고 할 때

$a \cdot b \geq 0$ 이면 $cos θ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣∣ b ∣}$
$a \cdot b < 0$ 이면 $cos (18 0^{\circ} - θ) = - \frac{a \cdot b}{∣ a ∣∣ b ∣}$

참고평면벡터 $a = (a_{1}, a_{2})$ , $b = (b_{1}, b_{2})$ 이면 $\frac{a \cdot b}{∣ a ∣∣ b ∣} = \frac{a _{1} b _{1} + a _{2} b _{2}}{a _{1}^{2} + a _{2}^{2} b _{1}^{2} + b _{2}^{2}}$

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벡터의 수직 조건과 평행 조건

128쪽

영벡터가 아닌 두 벡터 $a$ , $b$ 에 대하여

수직 조건: $a ⊥ b ⟺ a \cdot b = 0$
평행 조건: $a / / b ⟺ a \cdot b = \pm ∣ a ∣∣ b ∣$

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고등학교 › 기하

Ⅳ벡터의 활용

고등학교 기하 · 동아출판 · 8개

Ⅳ-1직선의 방정식

방향벡터를 이용한 직선의 방정식

140쪽

좌표평면에서 점 $A (x_{1}, y_{1})$ 을 지나고 방향벡터가 $u = (a, b)$ 인 직선의 방정식은 $\frac{x - x _{1}}{a} = \frac{y - y _{1}}{b}$ (단, $ab \neq = 0$ )
좌표공간에서 점 $A (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ 을 지나고 방향벡터가 $u = (a, b, c)$ 인 직선의 방정식은 $\frac{x - x _{1}}{a} = \frac{y - y _{1}}{b} = \frac{z - z _{1}}{c}$ (단, $ab c \neq = 0$ )

참고벡터로 나타내면 $p = a + t u$ ( $t$ 는 실수)

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법선벡터를 이용한 직선의 방정식

142쪽

좌표평면에서 점 $A (x_{1}, y_{1})$ 을 지나고 법선벡터가 $n = (a, b)$ 인 직선의 방정식은

$a (x - x_{1}) + b (y - y_{1}) = 0$

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두 직선이 이루는 각의 크기

143쪽

두 직선 $l_{1}$ , $l_{2}$ 의 방향벡터를 각각 $u_{1}$ , $u_{2}$ 라 하고, 두 직선이 이루는 각의 크기를 $θ (0^{\circ} \leq θ \leq 9 0^{\circ})$ 라고 할 때

$cos θ = \frac{∣ u _{1} \cdot u _{2} ∣}{∣ u _{1} ∣∣ u _{2} ∣}$
$l_{1} ⊥ l_{2} ⟺ u_{1} \cdot u_{2} = 0$ , $l_{1} / / l_{2} ⟺ u_{1} = k u_{2}$ (단, $k$ 는 0이 아닌 실수)

Ⅳ-2평면의 방정식과 구의 방정식

평면의 방정식

147쪽

점 $A (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ 을 지나고 법선벡터가 $n = (a, b, c)$ 인 평면의 방정식은

$a (x - x_{1}) + b (y - y_{1}) + c (z - z_{1}) = 0$

참고벡터로 나타내면 $(p - a) \cdot n = 0$

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일차방정식과 평면

148쪽

좌표공간에서 $x$ , $y$ , $z$ 에 대한 일차방정식 $a x + b y + cz + d = 0$ 은 벡터 $n = (a, b, c)$ 에 수직인 평면을 나타낸다.

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두 평면이 이루는 각의 크기

150쪽

두 평면 $α$ , $β$ 의 법선벡터를 $n_{1}$ , $n_{2}$ 라 하고, 두 평면이 이루는 각의 크기를 $θ (0^{\circ} \leq θ \leq 9 0^{\circ})$ 라고 할 때

$cos θ = \frac{∣ n _{1} \cdot n _{2} ∣}{∣ n _{1} ∣∣ n _{2} ∣}$
$α ⊥ β ⟺ n_{1} \cdot n_{2} = 0$ , $α / / β ⟺ n_{1} = k n_{2}$ (단, $k$ 는 0이 아닌 실수)

점과 평면 사이의 거리

151쪽

점 $A (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ 과 평면 $a x + b y + cz + d = 0$ 사이의 거리는

$\frac{∣ a x _{1} + b y _{1} + c z _{1} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$

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벡터로 나타낸 구의 방정식

152쪽

좌표공간의 점 C를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $r$ 인 구 위의 점 P에 대하여 점 C와 점 P의 위치벡터를 각각 $c$ , $p$ 라고 할 때

$∣ p - c ∣ = r$ 또는 $(p - c) \cdot (p - c) = r^{2}$

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고등학교 › 기본수학1

Ⅰ다항식

고등학교 기본수학1 · 동아출판 · 7개

Ⅰ-1다항식의 덧셈과 뺄셈

다항식의 덧셈의 성질

13쪽

세 다항식 $A$ , $B$ , $C$ 에 대하여

교환법칙: $A + B = B + A$
결합법칙: $(A + B) + C = A + (B + C)$

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Ⅰ-2다항식의 곱셈

다항식의 곱셈의 성질

17쪽

세 다항식 $A$ , $B$ , $C$ 에 대하여

교환법칙: $A B = B A$
결합법칙: $(A B) C = A (BC)$
분배법칙: $A (B + C) = A B + A C$ , $(A + B) C = A C + BC$

교과서 원문 보기

곱셈 공식 ⑴

18쪽

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ , $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$
$(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$
$(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + ab$
$(a x + b) (c x + d) = a c x^{2} + (a d + b c) x + b d$

교과서 원문 보기

곱셈 공식 ⑵

19쪽

$(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ , $(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$
$(a + b) (a^{2} - ab + b^{2}) = a^{3} + b^{3}$ , $(a - b) (a^{2} + ab + b^{2}) = a^{3} - b^{3}$

교과서 원문 보기

Ⅰ-3다항식의 나눗셈

다항식의 나눗셈

22쪽

다항식 $A$ 를 다항식 $B (B \neq = 0)$ 로 나누었을 때의 몫을 $Q$ , 나머지를 $R$ 이라고 하면

$A = BQ + R$ (단, $R$ 의 차수는 $B$ 의 차수보다 낮다.)

Ⅰ-4인수분해

인수분해 공식 ⑴

28쪽

$a^{2} + 2 ab + b^{2} = (a + b)^{2}$ , $a^{2} - 2 ab + b^{2} = (a - b)^{2}$
$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$
$x^{2} + (a + b) x + ab = (x + a) (x + b)$
$a c x^{2} + (a d + b c) x + b d = (a x + b) (c x + d)$

교과서 원문 보기

인수분해 공식 ⑵

29쪽

$a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} = (a + b)^{3}$ , $a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} = (a - b)^{3}$
$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ , $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$

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고등학교 › 기본수학1

Ⅱ이차방정식

고등학교 기본수학1 · 동아출판 · 4개

Ⅱ-1이차방정식과 그 해

$A B = 0$ 의 성질

44쪽

$A B = 0$ 이면 $A = 0$ 또는 $B = 0$

Ⅱ-2이차방정식의 풀이

제곱근을 이용한 이차방정식의 풀이

46쪽

$x^{2} = k (k \geq 0)$ 이면 $x = \pm k$

이차방정식의 근의 공식

48쪽

이차방정식 $a x^{2} + b x + c = 0$ 의 근은

$x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$ (단, $b^{2} - 4 a c \geq 0$ )

교과서 원문 보기

Ⅱ-3이차방정식의 판별식

이차방정식의 근의 판별

54쪽

계수가 실수인 이차방정식 $a x^{2} + b x + c = 0$ 에서 $D = b^{2} - 4 a c$ 라고 할 때

$D > 0$ 이면 서로 다른 두 실근을 갖는다.
$D = 0$ 이면 중근(실근)을 갖는다.
$D < 0$ 이면 실근을 갖지 않는다.

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고등학교 › 기본수학1

Ⅲ이차방정식과 이차함수

고등학교 기본수학1 · 동아출판 · 5개

Ⅲ-1이차함수의 뜻과 그래프

이차함수 $y = a x^{2}$ 의 그래프

69쪽

원점을 꼭짓점으로 하고, $y$ 축을 축으로 하는 포물선이다.
$a > 0$ 이면 아래로 볼록하고, $a < 0$ 이면 위로 볼록하다.
$a$ 의 절댓값이 클수록 그래프의 폭이 좁아진다.
이차함수 $y = - a x^{2}$ 의 그래프와 $x$ 축에 대칭이다.

교과서 원문 보기

Ⅲ-2이차함수 $y = a x^{2} + b x + c$ 의 그래프의 성질

이차함수 $y = a (x - p)^{2} + q$ 의 그래프

74쪽

이차함수 $y = a x^{2}$ 의 그래프를 $x$ 축의 방향으로 $p$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $q$ 만큼 평행이동한 것이다.
직선 $x = p$ 를 축으로 하고, 점 $(p, q)$ 를 꼭짓점으로 하는 포물선이다.

교과서 원문 보기

이차함수 $y = a x^{2} + b x + c$ 의 그래프

76쪽

$y = a (x - p)^{2} + q$ 꼴로 고쳐서 그릴 수 있다.
$a > 0$ 이면 아래로 볼록하고, $a < 0$ 이면 위로 볼록하다.
$y$ 축 위의 점 $(0, c)$ 를 지난다.

교과서 원문 보기

Ⅲ-3이차방정식과 이차함수의 관계

이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계

80쪽

이차방정식 $a x^{2} + b x + c = 0$ 의 판별식을 $D$ 라고 할 때, 이차함수 $y = a x^{2} + b x + c$ 의 그래프와 $x$ 축은

$D > 0$ 이면 서로 다른 두 점에서 만난다.
$D = 0$ 이면 한 점에서 만난다(접한다).
$D < 0$ 이면 만나지 않는다.

Ⅲ-4이차함수의 최대, 최소

이차함수 $y = a (x - p)^{2} + q$ 의 최댓값과 최솟값

85쪽

이차함수 $y = a (x - p)^{2} + q$ 에서

$a > 0$ 이면 $x = p$ 에서 최솟값 $q$ 를 갖고, 최댓값은 없다.
$a < 0$ 이면 $x = p$ 에서 최댓값 $q$ 를 갖고, 최솟값은 없다.

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고등학교 › 기본수학1

Ⅳ부등식

고등학교 기본수학1 · 동아출판 · 3개

Ⅳ-1일차부등식

부등식의 성질

101쪽

세 실수 $a$ , $b$ , $c$ 에 대하여

$a < b$ 이면 $a + c < b + c$ , $a - c < b - c$ 이다.
$a < b$ , $c > 0$ 이면 $a c < b c$ , $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$ 이다.
$a < b$ , $c < 0$ 이면 $a c > b c$ , $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$ 이다.

교과서 원문 보기

Ⅳ-3절댓값을 포함한 일차부등식

절댓값을 포함한 부등식

109쪽

$a > 0$ 일 때

$∣ x ∣ < a$ 이면 $- a < x < a$
$∣ x ∣ > a$ 이면 $x < - a$ 또는 $x > a$

Ⅳ-4이차부등식

이차부등식의 해

113쪽

$a > 0$ 일 때, 이차방정식 $a x^{2} + b x + c = 0$ 의 판별식을 $D$ , 두 실근을 $α$ , $β (α \leq β)$ 라고 하면

	$D > 0$	$D = 0$	$D < 0$
$a x^{2} + b x + c > 0$	$x < α$ 또는 $x > β$	$x \neq = α$ 인 모든 실수	모든 실수
$a x^{2} + b x + c \geq 0$	$x \leq α$ 또는 $x \geq β$	모든 실수	모든 실수
$a x^{2} + b x + c < 0$	$α < x < β$	해는 없다.	해는 없다.
$a x^{2} + b x + c \leq 0$	$α \leq x \leq β$	$x = α$	해는 없다.

고등학교 › 기본수학1

Ⅴ경우의 수

고등학교 기본수학1 · 동아출판 · 5개

Ⅴ-1경우의 수

합의 법칙

127쪽

$m + n$

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곱의 법칙

129쪽

사건 $A$ 가 일어나는 경우의 수가 $m$ 이고, 그 각각에 대하여 사건 $B$ 가 일어나는 경우의 수가 $n$ 일 때, 두 사건 $A$ , $B$ 가 잇달아 일어나는 경우의 수는

$m \times n$

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Ⅴ-2순열

순열의 수 ⑴

133쪽

서로 다른 $n$ 개에서 $r$ 개를 택하는 순열의 수는

$_{n} P_{r} = n (n - 1) (n - 2) \times \dots \times (n - r + 1)$ (단, $0 < r \leq n$ )

교과서 원문 보기

순열의 수 ⑵

134쪽

$_{n} P_{n} = n!$ , $0! = 1$ , $_{n} P_{0} = 1$
$_{n} P_{r} = \frac{n !}{( n - r )!}$ (단, $0 \leq r \leq n$ )

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Ⅴ-3조합

조합의 수

139쪽

서로 다른 $n$ 개에서 $r$ 개를 택하는 조합의 수는

$_{n} C_{r} = \frac{_{n} P _{r}}{r !} = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}$ (단, $0 \leq r \leq n$ )

교과서 원문 보기

고등학교 › 기본수학1

Ⅵ행렬

고등학교 기본수학1 · 동아출판 · 2개

Ⅵ-3행렬의 곱셈

행렬의 곱셈

162쪽

$(a c b d) (p r q s) = (a p + b r c p + d r a q + b s c q + d s)$

단위행렬의 성질

163쪽

이차정사각행렬 $A$ 와 단위행렬 $I$ 에 대하여

$A I = I A = A$

고등학교 › 기본수학2

Ⅰ평면좌표와 직선의 방정식

고등학교 기본수학2 · 동아출판 · 5개

Ⅰ-1두 점 사이의 거리

좌표평면 위의 두 점 사이의 거리

12쪽

좌표평면 위의 두 점 $A (x_{1}, y_{1})$ , $B (x_{2}, y_{2})$ 사이의 거리는

$\overline{A B} = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$

참고원점 O와 점 $A (x_{1}, y_{1})$ 사이의 거리는 $\overline{O A} = x_{1}^{2} + y_{1}^{2}$

교과서 원문 보기

Ⅰ-2직선의 방정식

한 점과 기울기가 주어진 직선의 방정식

16쪽

점 $(x_{1}, y_{1})$ 을 지나고 기울기가 $m$ 인 직선의 방정식은

$y - y_{1} = m (x - x_{1})$

교과서 원문 보기

두 점을 지나는 직선의 방정식

18쪽

서로 다른 두 점 $A (x_{1}, y_{1})$ , $B (x_{2}, y_{2})$ 를 지나는 직선의 방정식은

$x_{1} \neq = x_{2}$ 일 때, $y - y_{1} = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} (x - x_{1})$
$x_{1} = x_{2}$ 일 때, $x = x_{1}$

교과서 원문 보기

Ⅰ-3두 직선의 평행과 수직

두 직선의 평행 조건

24쪽

두 직선 $l : y = m x + n$ , $l^{'} : y = m^{'} x + n^{'}$ 에서

$l$ 과 $l^{'}$ 이 서로 평행하면 $m = m^{'}$ , $n \neq = n^{'}$ 이다.
$m = m^{'}$ , $n \neq = n^{'}$ 이면 $l$ 과 $l^{'}$ 은 서로 평행하다.

교과서 원문 보기

두 직선의 수직 조건

25쪽

두 직선 $l : y = m x + n$ , $l^{'} : y = m^{'} x + n^{'}$ 에서

$l$ 과 $l^{'}$ 이 서로 수직이면 $m m^{'} = - 1$ 이다.
$m m^{'} = - 1$ 이면 $l$ 과 $l^{'}$ 은 서로 수직이다.

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고등학교 › 기본수학2

Ⅱ원의 방정식과 도형의 이동

고등학교 기본수학2 · 동아출판 · 8개

Ⅱ-1원의 방정식

원의 방정식

38쪽

중심이 점 $(a, b)$ 이고 반지름의 길이가 $r$ 인 원의 방정식은

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

참고중심이 원점이고 반지름의 길이가 $r$ 인 원의 방정식은 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$

교과서 원문 보기

방정식 $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ 이 나타내는 도형

39쪽

$A^{2} + B^{2} - 4 C > 0$ 일 때, 방정식 $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ 은

중심이 점 $(- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2})$ 이고 반지름의 길이가 $\frac{A ^{2} + B ^{2} - 4 C}{2}$ 인 원을 나타낸다.

Ⅱ-2원과 직선의 위치 관계

원과 직선의 위치 관계(판별식)

42쪽

원 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 과 직선 $y = m x + n$ 에서 이차방정식 $(m^{2} + 1) x^{2} + 2 mn x + n^{2} - r^{2} = 0$ 의 판별식을 $D$ 라고 하면

$D > 0$ 이면 서로 다른 두 점에서 만난다.
$D = 0$ 이면 한 점에서 만난다(접한다).
$D < 0$ 이면 만나지 않는다.

원과 직선의 위치 관계(거리)

43쪽

원의 중심과 직선 사이의 거리를 $d$ , 원의 반지름의 길이를 $r$ 라고 하면

$d < r$ 이면 서로 다른 두 점에서 만난다.
$d = r$ 이면 한 점에서 만난다(접한다).
$d > r$ 이면 만나지 않는다.

Ⅱ-3평행이동

점의 평행이동

48쪽

점 $P (x, y)$ 를 $x$ 축의 방향으로 $a$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $b$ 만큼 평행이동한 점은

$P^{'} (x + a, y + b)$

교과서 원문 보기

도형의 평행이동

49쪽

방정식 $f (x, y) = 0$ 이 나타내는 도형을 $x$ 축의 방향으로 $a$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $b$ 만큼 평행이동한 도형의 방정식은

$f (x - a, y - b) = 0$

교과서 원문 보기

Ⅱ-4대칭이동

점의 대칭이동

52쪽

점 $P (x, y)$ 를

$x$ 축에 대하여 대칭이동한 점: $(x, - y)$
$y$ 축에 대하여 대칭이동한 점: $(- x, y)$
원점에 대하여 대칭이동한 점: $(- x, - y)$
직선 $y = x$ 에 대하여 대칭이동한 점: $(y, x)$

도형의 대칭이동

54쪽

방정식 $f (x, y) = 0$ 이 나타내는 도형을

$x$ 축에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 $f (x, - y) = 0$
$y$ 축에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 $f (- x, y) = 0$
원점에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 $f (- x, - y) = 0$
직선 $y = x$ 에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 $f (y, x) = 0$

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고등학교 › 기본수학2

Ⅲ집합

고등학교 기본수학2 · 동아출판 · 3개

Ⅲ-3집합의 연산

합집합의 원소의 개수

80쪽

두 집합 $A$ , $B$ 가 유한집합일 때

$n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)$

교과서 원문 보기

여집합의 성질

81쪽

전체집합 $U$ 의 부분집합 $A$ 에 대하여

$U^{C} = \emptyset$ , $\emptyset^{C} = U$
$(A^{C})^{C} = A$
$A \cup A^{C} = U$
$A \cap A^{C} = \emptyset$

교과서 원문 보기

차집합의 성질

83쪽

전체집합 $U$ 의 두 부분집합 $A$ , $B$ 에 대하여

$A - B = A \cap B^{C}$

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고등학교 › 기본수학2

Ⅳ명제

고등학교 기본수학2 · 동아출판 · 2개

Ⅳ-2명제 사이의 관계

명제 $p ⟶ q$ 의 참과 거짓

102쪽

두 조건 $p$ , $q$ 의 진리집합을 각각 $P$ , $Q$ 라고 할 때

명제 $p ⟶ q$ 가 참이면 $P \subset Q$ 이다. 또, $P \subset Q$ 이면 명제 $p ⟶ q$ 는 참이다.
명제 $p ⟶ q$ 가 거짓이면 $P \neq \subset Q$ 이다. 또, $P \neq \subset Q$ 이면 명제 $p ⟶ q$ 는 거짓이다.

교과서 원문 보기

명제와 그 대우의 관계

105쪽

명제 $p ⟶ q$ 가 참이면 그 대우 $\sim q ⟶ \sim p$ 도 참이다.
명제 $p ⟶ q$ 가 거짓이면 그 대우 $\sim q ⟶ \sim p$ 도 거짓이다.

교과서 원문 보기

고등학교 › 기본수학2

Ⅴ함수와 그래프

고등학교 기본수학2 · 동아출판 · 3개

Ⅴ-2합성함수

합성함수

126쪽

두 함수 $f : X ⟶ Z$ , $g : Z ⟶ Y$ 의 합성함수는

$g \circ f : X ⟶ Y$ , $(g \circ f) (x) = g (f (x))$

교과서 원문 보기

Ⅴ-3역함수

역함수와 그 성질

131쪽

함수 $f : X ⟶ Y$ 가 일대일대응일 때

역함수 $f^{- 1} : Y ⟶ X$ 가 존재한다.
$y = f (x)$ 이면 $x = f^{- 1} (y)$ 이고, $x = f^{- 1} (y)$ 이면 $y = f (x)$ 이다.
$(f^{- 1} \circ f) (x) = x (x \in X)$ , $(f \circ f^{- 1}) (y) = y (y \in Y)$
$(f^{- 1})^{- 1} (x) = f (x) (x \in X)$

교과서 원문 보기

함수의 그래프와 역함수의 그래프

133쪽

함수 $y = f (x)$ 의 그래프와 역함수 $y = f^{- 1} (x)$ 의 그래프는 직선 $y = x$ 에 대하여 대칭이다.

참고 $(f^{- 1} \circ f) (x) = x (x \in X)$ , $(f \circ f^{- 1}) (y) = y (y \in Y)$

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고등학교 › 기본수학2

Ⅵ유리함수와 무리함수

고등학교 기본수학2 · 동아출판 · 6개

Ⅵ-1유리함수와 그 그래프

유리식의 성질

144쪽

다항식 $A$ , $B$ , $C (B \neq = 0, C \neq = 0)$ 에서

$\frac{A}{B} = \frac{A \times C}{B \times C}$
$\frac{A}{B} = \frac{A \div C}{B \div C}$

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유리식의 사칙연산

144쪽

다항식 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ 에서 (단, 분모는 모두 0이 아니다.)

$\frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A + B}{C}$ , $\frac{A}{C} - \frac{B}{C} = \frac{A - B}{C}$
$\frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{A \times C}{B \times D}$ , $\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{D}{C}$

교과서 원문 보기

유리함수 $y = \frac{k}{x} (k \neq = 0)$ 의 그래프

148쪽

정의역과 치역은 모두 0을 제외한 실수 전체의 집합이다.
원점에 대하여 대칭이다.
$k > 0$ 이면 그래프는 제1, 3사분면에 있고, $k < 0$ 이면 그래프는 제2, 4사분면에 있다.
점근선은 $x$ 축과 $y$ 축이다.

교과서 원문 보기

유리함수 $y = \frac{k}{x - p} + q (k \neq = 0)$ 의 그래프

149쪽

$y = \frac{k}{x}$ 의 그래프를 $x$ 축의 방향으로 $p$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $q$ 만큼 평행이동한 것이다.
정의역은 ${x ∣ x \neq = p 인 실수}$ , 치역은 ${y ∣ y \neq = q 인 실수}$ 이다.
점근선은 두 직선 $x = p$ , $y = q$ 이고, 그래프는 점 $(p, q)$ 에 대하여 대칭이다.

참고유리함수 $y = \frac{a x + b}{c x + d} (c \neq = 0, a d - b c \neq = 0)$ 의 그래프는 $y = \frac{k}{x - p} + q$ 꼴로 변형하여 그릴 수 있다.

Ⅵ-2무리함수와 그 그래프

무리함수 $y = a x (a \neq = 0)$ 의 그래프

156쪽

$a > 0$ 이면 정의역은 ${x ∣ x \geq 0}$ , 치역은 ${y ∣ y \geq 0}$ 이고, $a < 0$ 이면 정의역은 ${x ∣ x \leq 0}$ , 치역은 ${y ∣ y \geq 0}$ 이다.
함수 $y = \frac{x ^{2}}{a} (x \geq 0)$ 의 그래프와 직선 $y = x$ 에 대하여 대칭이다.

교과서 원문 보기

무리함수 $y = a (x - p) + q (a \neq = 0)$ 의 그래프

157쪽

$y = a x$ 의 그래프를 $x$ 축의 방향으로 $p$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $q$ 만큼 평행이동한 것이다.
정의역은 $a > 0$ 이면 ${x ∣ x \geq p}$ , $a < 0$ 이면 ${x ∣ x \leq p}$ 이고, 치역은 ${y ∣ y \geq q}$ 이다.

참고무리함수 $y = a x + b + c$ 는 $y = a (x + \frac{b}{a}) + c$ 꼴로 변형하여 그린다.

고등학교 › 인공지능 수학

Ⅰ인공지능과 빅데이터

고등학교 인공지능 수학 · 동아출판 · 1개

Ⅰ-1인공지능의 개념

퍼셉트론의 출력

13쪽

입력값 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 에 가중치 $w_{1}, w_{2}, \dots, w_{n}$ 을 각각 곱하여 더한 값을

$s = x_{1} \times w_{1} + x_{2} \times w_{2} + \dots + x_{n} \times w_{n}$
출력값 $f (s) = {10 (s \geq a) (s < a)$ ( $a$ 는 임곗값)

고등학교 › 인공지능 수학

Ⅱ텍스트 데이터 처리

고등학교 인공지능 수학 · 동아출판 · 4개

Ⅱ-2텍스트 데이터의 정보 추출

TF-IDF

57쪽

전체 문서의 개수를 $n$ 이라고 할 때

$IDF = \frac{n}{DF}$
$TF-IDF = TF \times IDF$

Ⅱ-3텍스트 데이터의 분석

유클리드 유사도

68쪽

두 텍스트 데이터 A와 B를 나타내는 벡터가 각각 $a = (a_{1}, \dots, a_{n})$ , $b = (b_{1}, \dots, b_{n})$ 일 때

$d (a, b) = ∣ b - a ∣ = (b_{1} - a_{1})^{2} + (b_{2} - a_{2})^{2} + \dots + (b_{n} - a_{n})^{2}$

코사인 유사도

69쪽

두 텍스트 데이터 A와 B를 나타내는 벡터가 각각 $a = (a_{1}, \dots, a_{n})$ , $b = (b_{1}, \dots, b_{n})$ 일 때

$C (a, b) = \frac{a _{1} b _{1} + a _{2} b _{2} + \dots + a _{n} b _{n}}{a _{1}^{2} + \dots + a _{n}^{2} b _{1}^{2} + \dots + b _{n}^{2}}$

참고 $C (a, b)$ 는 두 벡터가 이루는 각의 크기 $θ$ 에 대하여 $cos θ$ 의 값과 같다.

자카드 유사도

71쪽

두 텍스트 데이터 A와 B의 단어집합이 각각 $A$ , $B$ 일 때

$J (A, B) = \frac{n ( A \cap B )}{n ( A \cup B )} = \frac{n ( A \cap B )}{n ( A ) + n ( B ) - n ( A \cap B )}$

고등학교 › 인공지능 수학

Ⅲ이미지 데이터 처리

고등학교 인공지능 수학 · 동아출판 · 2개

Ⅲ-2이미지 데이터의 변환

이미지의 합성

93쪽

A, B, C 세 이미지를 나타낸 행렬을 각각 $M_{A}$ , $M_{B}$ , $M_{C}$ 라 하고, 이미지 A의 가중치를 $a (0 \leq a \leq 1)$ 라고 할 때

$M_{C} = a M_{A} + (1 - a) M_{B}$

이미지의 이동 및 확대·축소

99쪽

주어진 이미지의 좌표를 $(x, y)$ , 변환한 이미지의 좌표를 $(x^{'}, y^{'})$ 이라고 할 때

$x$ 축의 방향으로 $m$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $n$ 만큼 평행이동: $(x^{'} y^{'}) = (1001) (x y) + (m n)$
$x$ 축의 방향으로 $W$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $H$ 만큼 확대·축소: $(x^{'} y^{'}) = (W 0 0 H) (x y)$

고등학교 › 인공지능 수학

Ⅳ예측과 최적화

고등학교 인공지능 수학 · 동아출판 · 4개

Ⅳ-3손실함수의 최적화

오차와 손실함수

137쪽

$n$ 개의 데이터 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{n}, y_{n})$ 으로부터 $f (x) = a x$ ( $a$ 는 상수) 꼴의 추세선을 결정했을 때

오차: $y_{1} - a x_{1}, y_{2} - a x_{2}, \dots, y_{n} - a x_{n}$
손실함수: $L (a) = \frac{( y _{1} - a x _{1} ) ^{2} + ( y _{2} - a x _{2} ) ^{2} + \dots + ( y _{n} - a x _{n} ) ^{2}}{n}$

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Ⅳ-4경사하강법

미분계수

143쪽

함수 $y = f (x)$ 의 $x = a$ 에서의 미분계수는

$f^{'} (a) = h \to 0 lim \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$

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이차함수의 미분계수

144쪽

이차함수 $f (x) = p x^{2} + q x + r$ ( $p$ , $q$ , $r$ 은 상수)의 $x = t$ 에서의 미분계수는

$f^{'} (t) = 2 pt + q$

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경사하강법의 매개변수 갱신

147쪽

손실함수 $L (a)$ 에 대하여 학습률을 $k (k > 0)$ 라고 할 때

$a_{1} = a_{0} - k L^{'} (a_{0})$

참고 $L^{'} (a_{0}) > 0$ 이면 $a$ 를 작게, $L^{'} (a_{0}) < 0$ 이면 $a$ 를 크게 조절한다.

고등학교 › 직무 수학

Ⅱ변화와 관계

고등학교 직무 수학 · 동아출판 · 8개

Ⅱ-1비

단위 가격·구매 단가·판매 단가

46쪽

$(단위 가격) = \frac{( 물건의 총가격 )}{( 기준 단위 )}$
$(구매 단가) = \frac{( 총구입 비용 )}{( 물건 개수 )}$ , $(판매 단가) = (구매 단가) + (이익)$

반발 계수

50쪽

$(반발 계수) = \frac{( 충돌 후 멀어지는 속력 )}{( 충돌 전 가까워지는 속력 )}$
$(반발 계수) = \frac{( 공이 튀어 오른 높이 )}{( 공을 떨어뜨린 높이 )}$

Ⅱ-2백분율

백분율

51쪽

$(백분율) = (비율) \times 100 (%)$

손익률

52쪽

$(손익률) = \frac{( 손익 )}{( 제조 및 매입 금액 )} \times 100 (%)$

인상률

54쪽

$(인상률) = \frac{( 인상된 금액 )}{( 기준 금액 )} \times 100 (%)$

할인율

55쪽

$(할인율) = \frac{( 할인된 금액 )}{( 정가 )} \times 100 (%)$

참고정가가 $a$ 원인 물건을 $x %$ 할인한 금액은 $a (1 - \frac{x}{100})$ 원이다.

Ⅱ-4관계와 그래프

매출액과 무역 수지

63쪽

$(매출액) = (상품 1 개의 판매 가격) \times (판매량)$
$(무역 수지) = (수출액) - (수입액)$

Ⅱ-5일차방정식과 일차부등식

부가 가치세와 환전 수수료

78쪽

$(부가 가치세) = {(과세 가격) + (관세)} \times \frac{1}{10}$
$(환전 수수료) = (살 때의 환율) - (매매 기준율)$

고등학교 › 직무 수학

Ⅲ도형과 측정

고등학교 직무 수학 · 동아출판 · 5개

Ⅲ-4평면도형의 둘레와 넓이

평면도형의 둘레

108쪽

$(삼각형의 둘레) = a + b + c$ , $(정삼각형의 둘레) = 3 a$
$(직사각형의 둘레) = 2 (a + b)$ , $(정사각형의 둘레) = 4 a$
$(원의 둘레) = 2 π r$ , $(호의 길이) = l = 2 π r \times \frac{x}{360}$ , $(부채꼴의 둘레) = 2 r + l$

평면도형의 넓이

111쪽

$(삼각형의 넓이) = \frac{1}{2} ah$ , $(정삼각형의 넓이) = \frac{3}{4} a^{2}$
$(직사각형의 넓이) = ab$ , $(정사각형의 넓이) = a^{2}$
$(원의 넓이) = π r^{2}$ , $(부채꼴의 넓이) = π r^{2} \times \frac{x}{360} = \frac{1}{2} r l$

건폐율

114쪽

$(건폐율) = \frac{( 건물의 바닥 면적 )}{( 대지 면적 )} \times 100 (%)$

Ⅲ-5입체도형의 겉넓이와 부피

입체도형의 겉넓이

115쪽

$(기둥의 겉넓이) = (밑넓이) \times 2 + (옆넓이)$
$(뿔의 겉넓이) = (밑넓이) + (옆넓이)$
직육면체: $2 (ab + b c + c a)$ / 원기둥: $2 π r^{2} + 2 π r h$ / 원뿔: $π r^{2} + π r l$

입체도형의 부피

118쪽

$(기둥의 부피) = (밑넓이) \times (높이)$
$(뿔의 부피) = \frac{1}{3} \times (밑넓이) \times (높이)$
직육면체: $ab c$ / 원기둥: $π r^{2} h$

고등학교 › 직무 수학

Ⅳ자료와 가능성

고등학교 직무 수학 · 동아출판 · 3개

Ⅳ-1경우의 수

순열과 조합의 수

134쪽

$_{n} P_{r} = n (n - 1) (n - 2) \times \dots \times (n - r + 1) = \frac{n !}{( n - r )!}$
$_{n} C_{r} = \frac{_{n} P _{r}}{r !} = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}$

Ⅳ-3표와 그래프를 이용한 자료의 정리

계급값과 상대도수

146쪽

$(계급값) = \frac{( 계급의 양 끝 값의 합 )}{2}$
$(어떤 계급의 상대도수) = \frac{( 그 계급의 도수 )}{( 도수의 총합 )}$

Ⅳ-5표와 그래프를 활용한 의사 결정

평균·분산·표준편차

165쪽

$(평균) = \frac{( 자료 전체의 합 )}{( 자료의 개수 )}$
$(분산) = \frac{( 편차 ) ^{2} 의 총합}{( 변량 ) 의 개수}$ , $(표준편차) = (분산)$

고등학교 › 수학과 문화

Ⅰ예술과 수학

고등학교 수학과 문화 · 동아출판 · 2개

Ⅰ-1음악과 수학

피타고라스 음계의 원리

11쪽

두 음을 내는 현의 길이의 비가 $2 : 1$ 일 때, 두 음은 완전 8도 관계이다.
두 음을 내는 현의 길이의 비가 $3 : 2$ 일 때, 두 음은 완전 5도 관계이다.

참고도(C4) 음을 내는 현의 길이가 1이면 솔(G4) 음은 $\frac{2}{3}$ , 한 옥타브 높은 도(C5) 음은 $\frac{1}{2}$ 이다.

Ⅰ-2미술과 수학

황금비

18쪽

선분 AB에서 $\overline{A P} = x (x > 1)$ , $\overline{PB} = 1$ 이 황금비를 이룰 때 $(x + 1) : x = x : 1$ 이므로

$x^{2} - x - 1 = 0$ , $x = \frac{1 + 5}{2} = 1.618033988 \dots$

고등학교 › 수학과 문화

Ⅲ사회와 수학

고등학교 수학과 문화 · 동아출판 · 1개

Ⅲ-1민속 수학

간지 구하기

77쪽

연도를 10으로 나눈 나머지로 십간을, 12로 나눈 나머지로 십이지를 정한다.
십간: 나머지 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3 → 갑, 을, 병, 정, 무, 기, 경, 신, 임, 계
십이지: 나머지 4, 5, 6, …, 11, 0, 1, 2, 3 → 자, 축, 인, 묘, 진, 사, 오, 미, 신, 유, 술, 해

참고예: 2026년은 $2026 \div 10$ 의 나머지 6(병), $2026 \div 12$ 의 나머지 10(오)이므로 병오년이다.

고등학교 › 수학과 문화

Ⅳ환경과 수학

고등학교 수학과 문화 · 동아출판 · 2개

Ⅳ-1식생활과 수학

증감률

112쪽

$(증감률) = \frac{( 금년도 수치 ) - ( 전년도 수치 )}{( 전년도 수치 )} \times 100 (%)$

Ⅳ-4생명권과 수학

표지 재포획법에 의한 개체 수 추정

129쪽

처음 잡아 표시한 개체 수를 $M$ , 두 번째 잡은 개체 수를 $C$ , 그중 표시된 개체 수를 $R$ , 전체 개체 수를 $N$ 이라고 하면

$N : M = C : R$ , 즉 $N = \frac{M \times C}{R}$